Richtung steilster Anstieg < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:03 Mo 12.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
| Aufgabe | Keine Aufgabe, sondern eine Verständnisfrage. Kann daher fehlerhaft sein.
Angenommen, der Gradient einer Funktion ist: [mm] \nabla f(x_1,x_2)=\vektor{x_2+x_1 \\ cos(x_2)}
[/mm]
(Das Beispiel hab ich mir selbst ausgedacht). |
Guten Abend,
Ich habe gerade ein Verständnis Problem, was den steilsten Anstieg einer Funktion bei mehreren Veränderlichen angeht.
Allgmein ist die Richtung des steilsten Anstiegs definiert als:
[mm] v^0=\bruch{\nabla f(x^0)}{\parallel \nabla f(x^0) \parallel _2}
[/mm]
Nun zu meiner ausgedachten Aufgabe. Ich möchte den steilsten Anstieg im Punkt [mm] x_0=(0, \pi) [/mm] berechnen.
[mm] \nabla f(0,\pi)=\vektor{\pi \\ -1}
[/mm]
[mm] v^0=\bruch{\vektor{\pi \\ -1}}{\sqrt{\pi^2+1}}
[/mm]
Jetzt heißt es aber, dass [mm] \red{-}\nabla f(x^0) [/mm] in Richtung des steilsten Abstiegs zeigt.
Heißt das dann für mich, dass [mm] \red{-}\vektor{\pi \\ -1} [/mm] in Richtung des steilsten Abstigs in dem Punkt zeigt?
Oder ist das so gemeint, dass der entstehende Vektor negativ sein muss. Also wenn ich zum Beispiel sowas wie [mm] \vektor{-1 \\ -1} [/mm] als Ergebnis erhalte, das ich dann den steilsten Abstieg hätte?
Irgendwie versteh ichs grad nicht...
Gruß Hans
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:42 Mo 12.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Keine Aufgabe, sondern eine Verständnisfrage. Kann daher
> fehlerhaft sein.
>
> Angenommen, der Gradient einer Funktion ist: [mm]\nabla f(x_1,x_2)=\vektor{x_2+x_1 \\ cos(x_2)}[/mm]
>
> (Das Beispiel hab ich mir selbst ausgedacht).
>
> Guten Abend,
>
> Ich habe gerade ein Verständnis Problem, was den steilsten
> Anstieg einer Funktion bei mehreren Veränderlichen
> angeht.
>
> Allgmein ist die Richtung des steilsten Anstiegs definiert
> als:
>
> [mm]v^0=\bruch{\nabla f(x^0)}{\parallel \nabla f(x^0) \parallel _2}[/mm]
>
> Nun zu meiner ausgedachten Aufgabe. Ich möchte den
> steilsten Anstieg im Punkt [mm]x_0=(0, \pi)[/mm] berechnen.
>
> [mm]\nabla f(0,\pi)=\vektor{\pi \\ -1}[/mm]
>
> [mm]v^0=\bruch{\vektor{\pi \\ -1}}{\sqrt{\pi^2+1}}[/mm]
>
> Jetzt heißt es aber, dass [mm]\red{-}\nabla f(x^0)[/mm] in Richtung
> des steilsten Abstiegs zeigt.
>
> Heißt das dann für mich, dass [mm]\red{-}\vektor{\pi \\ -1}[/mm]
> in Richtung des steilsten Abstigs in dem Punkt zeigt?
Ja [mm] ($\vec{x}$ [/mm] zeigt ja immer in die gleiche Richtung wie [mm] $\vec{x}/\|\vec{x}\|$).
[/mm]
>
> Oder ist das so gemeint, dass der entstehende Vektor
> negativ sein muss.
Wann ist ein Vektor denn negativ? [mm] $\IC \cong \IR^2$ [/mm] kann man doch schon nicht anordnen...
> Also wenn ich zum Beispiel sowas wie
> [mm]\vektor{-1 \\ -1}[/mm] als Ergebnis erhalte, das ich dann den
> steilsten Abstieg hätte?
Achso: Du meinst (die gängige Konvention), dass man für $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] schreibt $x < 0 [mm] \gdw x_i [/mm] < 0 [mm] \text{ für alle }i \in \{1,...,n\}\,.$ [/mm] Nein: Das ist nicht gemeint.
Hier meint [mm] $-\vec{x}=(-1)*\vec{x}\,.$
[/mm]
> Irgendwie versteh ichs grad nicht...
Klarer? (Mal Dir auch mal einen Vektor des [mm] $\IR^2$ [/mm] hin: "Der Fuß des Vektors" liegt im Ursprung, die Pfeilspitze in dem Punkt. Wie sieht denn bzgl. diesem Vektor das neutrale Element bzgl. der (Vektor-)Addition aus - das ist das gleiche, wie den Vektor skalar mit [mm] $-1\,$ [/mm] zu multiplizieren. Du wirst sehen, dass Du ihn so findest:
Wenn Du den ersten Vektor gezeichnet hast, und nun zeichne mal die komplette Ursprungsgerade. "Drehe mal die Pfeilspitze um 180° um den Punkt $(0,0) [mm] \in \IR^2$".)
[/mm]
Beachte: Diese Aussage von Dir mit dem Gradienten ist "lokal" gemeint - also an der Stelle, wo ich mich befinde, bekomme ich "den steilsten Abstieg= (-1)*(den steilsten Anstieg)" mit dem Gradienten.
P.S.
Im [mm] $\IR^3$ [/mm] geht das analog. Auch da kannst Du Dir mal "mit Pfeilen einen Vektor und [mm] $(-1)\,$ [/mm] Mal den Vektor" (jeweils mit "Fußpunkt im Ursprung") einzeichnen!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:18 Di 13.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
Hallo Marcel,
> Klarer? (Mal Dir auch mal einen Vektor des [mm]\IR^2[/mm] hin: "Der
> Fuß des Vektors" liegt im Ursprung, die Pfeilspitze in dem
> Punkt. Wie sieht denn bzgl. diesem Vektor das neutrale
> Element bzgl. der (Vektor-)Addition aus - das ist das
> gleiche, wie den Vektor skalar mit [mm]-1\,[/mm] zu multiplizieren.
> Du wirst sehen, dass Du ihn so findest:
> Wenn Du den ersten Vektor gezeichnet hast, und nun zeichne
> mal die komplette Ursprungsgerade. "Drehe mal die
> Pfeilspitze um 180° um den Punkt [mm](0,0) \in \IR^2[/mm]".)
>
> Beachte: Diese Aussage von Dir mit dem Gradienten ist
> "lokal" gemeint - also an der Stelle, wo ich mich befinde,
> bekomme ich "den steilsten Abstieg= (-1)*(den steilsten
> Anstieg)" mit dem Gradienten.
>
> P.S.
> Im [mm]\IR^3[/mm] geht das analog. Auch da kannst Du Dir mal "mit
> Pfeilen einen Vektor und [mm](-1)\,[/mm] Mal den Vektor" (jeweils
> mit "Fußpunkt im Ursprung") einzeichnen!
Ja, jetzt ists mir klar. 
Stand da wohl wieder mal auf dem Schlauch...
Im Prinzip ergibt sichs ja von selbst: An der Stelle, an der die Kurve am steilsten ansteigt, fällt diese in die andere Richtung logischerweise am steilsten...
Danke für deine Hilfe und die Mühe die du dir machst.
Gruß Hans
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:24 Di 13.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> > Klarer? (Mal Dir auch mal einen Vektor des [mm]\IR^2[/mm] hin: "Der
> > Fuß des Vektors" liegt im Ursprung, die Pfeilspitze in dem
> > Punkt. Wie sieht denn bzgl. diesem Vektor das neutrale
> > Element bzgl. der (Vektor-)Addition aus - das ist das
> > gleiche, wie den Vektor skalar mit [mm]-1\,[/mm] zu multiplizieren.
> > Du wirst sehen, dass Du ihn so findest:
> > Wenn Du den ersten Vektor gezeichnet hast, und nun
> zeichne
> > mal die komplette Ursprungsgerade. "Drehe mal die
> > Pfeilspitze um 180° um den Punkt [mm](0,0) \in \IR^2[/mm]".)
> >
> > Beachte: Diese Aussage von Dir mit dem Gradienten ist
> > "lokal" gemeint - also an der Stelle, wo ich mich befinde,
> > bekomme ich "den steilsten Abstieg= (-1)*(den steilsten
> > Anstieg)" mit dem Gradienten.
> >
> > P.S.
> > Im [mm]\IR^3[/mm] geht das analog. Auch da kannst Du Dir mal
> "mit
> > Pfeilen einen Vektor und [mm](-1)\,[/mm] Mal den Vektor" (jeweils
> > mit "Fußpunkt im Ursprung") einzeichnen!
>
>
> Ja, jetzt ists mir klar.
> Stand da wohl wieder mal auf dem Schlauch...
> Im Prinzip ergibt sichs ja von selbst: An der Stelle, an
> der die Kurve am steilsten ansteigt, fällt diese in die
> andere Richtung logischerweise am steilsten...
genau. Wenn man's mal geometrisch kapiert hat, hat man's auch kapiert. Das ganze formal hinzuschreiben ist übrigens auch nicht schwer. Warum das bei Euch eine Definition ist, ist mir nicht ganz klar. Mein Prof. hat das begründet (![[]](/images/popup.gif) Bemerkung 20.2/vorher musst/solltest Du aber Satz 20.1 lesen, um die Begründung dort zu verstehen). Jedenfalls für die Funktionen, die wir dort betrachtet hatten [mm] ($\IR^n \to \IR$).
[/mm]
> Danke für deine Hilfe und die Mühe die du dir machst.
Gerne! 
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:21 Di 13.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1, in einem Punkt geht natürlich der steilste Anstieg und Abstieg immer in genau entgegengesetzte richtung. die Richtung des Vektors gibt an wohin er geht. das Vorzeichen von grd g heisst doch in welcher richtung es steigt, ist etwa df/dx positiv, dann steigt es in pos x Richtung, ist es neg. steigt es in neg x Richtung,
also zeigt grad f die richtun in x,y richtung an, in der das "Gebirge" am stärksten steigt,
gruss leduart
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