Richtungsableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:46 So 13.08.2006 | | Autor: | noidea44 |
Hallo zusammen ! Ich verstehe die Richtungsableitung nicht! :-(
Ich habe die Funktion [mm] f(x,y)=xy^2 -yx^3
[/mm]
Nun soll ich die Richtungsableitung in Richtung [mm] v=(-2,3)^T [/mm] im Punkt P=(2,1) bestimmen. Ich habe es nun mit Hilfe der Graienten-Methode versucht und bekomme folgendes Ergebnis raus:
[mm] gradf(P)=\begin{pmatrix} -11 \\-4 \\ \end{pmatrix}
[/mm]
als nächstes [mm] \begin{pmatrix} -11 \\-4 \\ \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} -2 \\3 \\ \end{pmatrix}*1/\wurzel{13} [/mm] = [mm] 10/\wurzel{13}
[/mm]
Laut Lösung ist das Ergegnis aber falsch. Es soll nur 10 rauskommen.
Kann mir bitte jemand weiterhelfen? Komme echt nicht weiter.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:09 So 13.08.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo noidea44,
nur keine Panik, das Ganze ist eine Sache der Normierung. Den Gradienten an der vorgegebenen Stelle hast Du richtig berechnet. Jetzt geht es nur noch um die Abbildung dieses Gradienten in eine bestimmte Richtung. Dieser Richtungsvektor, bei Dir also [mm] \vektor{-2 \\ 3} [/mm], wird häufig als Einheitsvektor dargestellt und gibt Dir dann die Änderung des Funktionswertes in Bezug auf einen Vektor der Länge 1 an. Insofern ist Deine Rechnung auch okay. Möchte man die Änderung des Funktionswertes in Bezug auf den bei Dir angegebenen Vektor berechnen, der die Länge [mm] \sqrt{13} [/mm] besitzt, so multipliziert man Dein erhaltenes Ergebnis genau mit dieser Länge, oder kurz gesagt, da sich dann die Länge dieses Richtungsvektors in Zähler und Nenner rauskürzt, langt es das Skalarprodukt zwischen Gradientenwert und Richtungsvektor zu bestimmen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 So 13.08.2006 | | Autor: | noidea44 |
Hallo Infinit!
Danke für deine super ausführliche Erklärung; hätte da aber noch eine Frage:
Ist es grundsätzlich immer so, dass man einen gegebenenRichtungsvektor, der nicht genormt ist zuerst normiert( d.h. Vektor geteilt durch seinen Betrag) und anschließend diesen neuen genormten Vektor nochmal durch seinen Betrag teilt und anschliessend mit dem gradienten multipliziert?
Ich weiss, das hört sich etwas komisch an; hoffe ihr versteht was ich meine
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 So 13.08.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo noidea44,
die Normierung muss keineswegs sein, man findet sie natürlich häufig in den Herleitungen, da auf diese Weise ein Wert berechnet wird, der die Änderung des Funktionswertes in Bezug auf eine Einheitsgröße darstellt. Das muss aber nicht unbedingt so sein und ich muss zugeben, dass die Aufgabenstellung in dieser Hinsicht auch häufig etwas ungenau ist.
Eine Richtung, die beispielsweise durch den Vektor (1,1) beschrieben wird, ändert sich richtungsmäßig natürlich nicht, wenn man verlangt, die Ableitung in Richtung (5,5) zu berechnen. Wenn es allerdings darum geht, die Funktionsänderung in Bezug auf die Länge des Vektors zu berechnen, so macht es natürlich einen Unterschied, ob ich (1,1) oder (5,5) angebe.
Hier hilft nur eine genaue Aufgabenstellung oder man muss eben nachfragen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 So 13.08.2006 | | Autor: | noidea44 |
Also , die Aufgabenstellung ist bei mir folgende:
Bestimmen sie die RIchtungsableitung von f(x,y) im Punkt P in Richtung [mm] \vec v^T [/mm]
Heisst das also, dass ich zuerst ganz normal die RIchtungsableitung für die gegebenen Werte berechne und zum schluss nochmal in RIchtung von v , in dem ich das Ergebnis mit v multipliziere?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 So 13.08.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo noidea44,
jetzt müssen wir mit den Begriffen etwas aufpassen, um hier nicht durcheinander zu kommen.
Der Gradient in einem bestimmten Punkt gibt Dir die Änderung des Funktionswertes an, wenn Du Dich auf einer Geraden um eine Einheit in x- oder in y-Richtung von diesem Punkt wegbewegst. Die Methode ist also vergleichbar zur Berechnung der Ableitung einer eindimensionalen Funktion. Nur als Beispiel: Bei einer quadratischen Parabel sprichst Du ja einfach davon, dass im Punkt x =2 die Ableitung 4 beträgt, womit auch gemeint ist, dass sich die Tangente an die Kurve um einen Wert von 4 ändert, wenn Du Dich um eine x-Einheit weiterbewegst.
Das ungewohnte bei der Richtungsableitung ist nun, dass Du Dich nicht nur in x-Richtung bewegen kannst (wie im Eindimensionalen) , sondern auch in y-Richtung. Damit können Richtungen entstehen, die nicht mit den Einheitsvektoren (1,0) bzw. (0,1) übereinstimmen. Um die Steigung der Funktion in einer Richtung zu bestimmen, die nicht mit den Einheitsvektoren übereinstimmt, musst Du den Gradienten mit dem Richtungsvektor skalar multiplizieren, woduch, bildlich gesprochen, die Anteile aus der Ableitung in x- und in y-Richtung überlagert werden zu einem neuen Wert.
Also: Gradient in einem Punkt bestimmen, das ergibt einen Vektor. Diesen Vektor komponentenweise mit dem Richtungsvektor multiplizieren, - das ist genau das Skalarprodukt -, liefert den Wert der Ableitung in der vorgegebenen Richtung. Nach der Definition der Richtungsableitung soll dieser Richtungsvektor ein Einheitsvektor sein, also ein Vektor der Länge 1, weswegen man das Resultat einfach durch die Länge des Richtungsvektors teilen darf, um auf das gewünschte Ergebnis zu kommen. Insofern halte ich Deine Lösung für richtiger als die angegebene. Wie bereits erwähnt, wird dies aber häufig etwas ungenau ausgedrückt.
Nach Definition müsstest Du also den Gradienten mit einem normierten Richtungsvektor skalar multiplizieren. Da die Normierung eines Vektors aber keinen Einfluss auf die Richtung des Vektors besitzt, ist es egal, ob man
a) Das Skalarprodukt ausrechnet zwischen dem Gradienten und dem normierten Richtungsvektor oder
b) das Skalarprodukt ausrechnet zwischen dem Gradienten und dem Richtungsvektor (der noch nicht normiert ist) und anschließend das Ergebnis durch die Länge des Vektors, seine Norm, dividiert.
Ich hoffe, das war jetzt nicht zu verwirrend.
Auf beide Weisen bekommst Du den Wert der Ableitung in Richtung des gegebenen Richtungsvektors heraus.
Diese Normierung wird allerdings nicht immer gemacht, wie augenscheinlich auch bei Deiner vorgegebenen Lösung der Aufgabe, so dass hier leichte Differenzen auftreten können. Da das Ergebnis ein Skalar ist, sieht man ihm leider nicht mehr an, wie es entstanden ist.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 So 13.08.2006 | | Autor: | noidea44 |
Ich habe folgende Formel gefunden:
[mm] gradf(P)*\bruch{1}{ \parallel v \parallel} [/mm] v
Das würde aber heissen , dass ich nach meiner AUfgabenstellung den Ausdruck [mm] \bruch{1}{ \parallel v \parallel} [/mm] v nach meiner Richtung ändern muss, also mit in dem ich mit v multipliziere
Habe das richtig verstanden?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 So 13.08.2006 | | Autor: | Infinit |
Die Formel ist schon okay, aber denke daran, dass der Gradient und die Richtung durch Vektoren beschrieben werden und dieser kleine Punkt das Skalarprodukt ausdrückt. Die Normierung, hier dargestellt durch die Division durch [mm] \parallel v \parallel [/mm], ändert nicht die Richtung des Richtungsvektors, sondern nur seine Länge.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 So 13.08.2006 | | Autor: | noidea44 |
Also ich muss mal an der Stelle ein Lob an Infinit aussprechen:
Ich finde es echt super, dass du die ganze Sache so Ausführlich erkärt hast! :o)
Ich habe es nun verstanden! Danke!!
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