Richtungsableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Di 12.01.2010 | | Autor: | LowBob |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die Ableitung und Steigung der Funktion [mm] z=cos(e^{x})+sin(e^{y}) [/mm] für [mm] x=y=ln(\pi) [/mm] in Richtung der Geraden die parallel zur Geraden $ y=3x $ verläuft.
Lösung: [mm] F'(t)=3\pi [/mm] ; [mm] tan(\alpha)=-2,98 [/mm] |
Hallo,
ich habe keine Idee wie das geht.
Hat vielleicht jemand einen Ansatz für mich?
Oder kann mir zumindest erklären, was ich mit den Angaben anfangen soll?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:47 Di 12.01.2010 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Du brauchst folgendes:
1. Die Definition von Richtungsableitung
2. Den Gradienten von z
3. Einen Vektor der die Richtung für y=3x angibt (wie wärs mit [mm] \vektor{1 \\ 3} [/mm] ?)
Ich denke das müsste als Ansatz helfen. Hättest du 1. beachtet hättest du doch auch selbst drauf kommen können oder nicht ^^?
Schönen Gruß
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mi 13.01.2010 | | Autor: | LowBob |
Hallo,
ich habe mich nun eine ganze Weile mit der Aufgabe befasst, aber komme einfach nicht zum richtigen Ergebnis...
[mm] Z=cos(e^{x})+sin(e^{y})
[/mm]
Nach der Kettenregel folgt für [mm] Z_{x} [/mm] und [mm] Z_{y} [/mm] glaube ich:
[mm] Z_{x}=-sin(e^{x})*e^{x}
[/mm]
[mm] Z_{y}=cos(e^{y})*e^{y}
[/mm]
Der Gradient in [mm] P_{0} [/mm] ist definiert als:
$ grad [mm] f(P_{0})=(f_{x}(x_{0};y_{0});f_{y}(x_{0};y_{0})) [/mm] $
Aus [mm] x=y=ln\pi [/mm] folgere ich, dass [mm] P_{0}(ln\pi;ln\pi)
[/mm]
Die Richtungsableitung in [mm] P_{0} [/mm] in Richtung [mm] \vec{a} [/mm] ist definiert als:
[mm] \bruch{\vec{a}}{|\vec{a}|}*grad f(P_{0})
[/mm]
Wähle ich nun für [mm] \vec{a}=\vektor{1 \\ 3}
[/mm]
erhalte ich für [mm] f_{\vec{a}}(P_{0})=-2,98
[/mm]
So, jetzt noch ein paar Fragen:
Ist das Ergebnis der Richtungsableitung immer der Tangens?
Und wo bekomme ich die [mm] F'=3\pi [/mm] her?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Mi 13.01.2010 | | Autor: | max3000 |
Rechne doch mal alles schritt für schritt aus.
a ist richtig.
[mm] |a|=\wurzel{3^2+1^2}=\wurzel{10}
[/mm]
Dann ist nach Definition der Richtungsableitung
[mm] $F'=\bruch{a}{|a|}\cdot\nabla f(x_0)$
[/mm]
[mm] $=\bruch{1}{\wurzel{10}}\vektor{1 \\ 3}\cdot\vektor{0 \\ -\pi}$
[/mm]
[mm] $=-\bruch{3\pi}{\wurzel{10}}$
[/mm]
Ist das jetzt klar?
Schönen Gruß
Max
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