Richtungsableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ableitung in (0,0) von
[mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch {3x^2y-y^3}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y)\not= (0,0) \\ 0, & \mbox{für }(x,y)=(0,0) \end{cases}
[/mm]
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# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
also ich denke mal, dass ich hier über den Differentialquotienten gehen muss. Aber wie mache ich das? Ich hab mir gedacht, ich halte, wie bei der einfachen Richtungsableitung eine Koordinate konstant und gucke, was passiert, wenn ich mit der anderen gegen Null gehe und dann umgekehrt:
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\bruch{\bruch {3x^2y-y^3}{x^2+y^2} - 0}{(x,y) - (0,0)}
[/mm]
= [mm] (\bruch{-y}{y},\bruch{0}{x})
[/mm]
= (-1,0)
Stimmt das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Sa 27.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein Ausdruck
$ [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\bruch{\bruch {3x^2y-y^3}{x^2+y^2} - 0}{(x,y) - (0,0)} [/mm] $
ist keine Ableitung. was soll denn Zahl durch "Vektor" bedeuten, was du rauskriegst scheint ein Vektor zu sein?
Du hast f(0,y)/y gerechnet,ws soll das sein?
Gruss leduart
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so geht es also nicht. irgend ein tipp, wie ich die sache angehen sollte?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Sa 27.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schreib doch erstmal die partiellen Ableitungen für [mm] x,y\ne0 [/mm] hin und mach den Grenzübergang nach 0. vergleich das mit den Differenzenquotienten und dessen GW bei x=0 aber nur die partiellen Ableitungen!
(Hast du vorher gezeigt, ob die fkt stetig in (0,0) ist?)
Gruss leduart
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[mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch {3x^2y-y^3}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y)\not= (0,0) \\ 0, & \mbox{für }(x,y)=(0,0) \end{cases}
[/mm]
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f_x'(x,y)=\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\bruch{6xy}{2x}=\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}3y=?
[/mm]
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f_y'(x,y)=\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\bruch {3x^2-3y^2}{2y}=?
[/mm]
also wenn die richtungsableitungen so stimmen, wie mache ich dann den grenzübergang?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Sa 27.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Ableitungen sind falsch. hast du schon mal was von Produkt oder Quotienten regel gehört?
Gruss leduart
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oje, ja da hab ich schon mal von gehört.
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f_x'(x,y)=\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\bruch{4xy^3}{(x^2+y^2)^2}=?
[/mm]
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f_y'(x,y)=\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\bruch {3x^4-y^4-6x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}=\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\bruch{3(x^2-y^2)^2-4y^4}{(x^2+y^2)^2}=?
[/mm]
hoffentlich stimmt's nun. aber wie weiter?
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Hallo Garfield_II,
> oje, ja da hab ich schon mal von gehört.
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> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f_x'(x,y)=\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\bruch{4xy^3}
{(x^2+y^2)^2}=?[/mm]
Hier habe ich: [mm] \bruch{\blue{8}xy^3}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f_y'(x,y)=\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\bruch {3x^4-y^4-6x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}=\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\bruch{3(x^2-y^2)^2-4y^4}{(x^2+y^2)^2}=?[/mm]
Die partielle Ableitung nach y stimmt.
>
> hoffentlich stimmt's nun. aber wie weiter?
Wähle hier zum Beispiel [mm]y=a*x, \ a \not= 0[/mm]
und bilde den Grenzübergang für x gegen 0.
Gruss
MathePower
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