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| Aufgabe | Es sei f: [a,b] --> IR eine diff'bare konvexe Funktion. Beweisen Sie [mm] f(\bruch{a+b}{2})\le\bruch{1}{b-a}\integral_{a}^{b}{f(t) dt}\le \bruch{f(a)+f(b)}{2}
[/mm]
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass f(x) [mm] \ge f(x_{0}))+f'(x_{0})(x-x_{0}) [/mm] |
Hallo,
Wir wissen, dass [mm] f(\bruch{a+b}{2})\le\bruch{f(a)+f(b)}{2} [/mm] die Definiton von konvex ist.
Zunächst zum Hinweis: Könnte man das so verstehen, dass das eine Geradengleichung y=mx+b ist?
Könnte uns jemand einen Tipp geben, wie dies zu beweisen ist und was das dann für die eigentliche Aufgabe nützt.
Vielen Dank schonmal und viele Grüße
Anil
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 So 17.04.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] g(x)=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0) [/mm] ist die Tangente an f im Punkt [mm] (x_0,f(x_0) [/mm] also eine Gerade
meinst du das? du sollst also zeigen, dass für konvexe fkt gilt, die funktion liegt oberhalb der Tangente.
Gruß ledum
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:56 So 17.04.2016 | | Autor: | anil_prim |
Vom geometrischen Aspekt ist uns dies klar, wie zeigt man das jedoch mathematisch mit unserer Definition und kannst du uns sagen, wie das nun auf die Ungleichung angewendet werden kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 So 17.04.2016 | | Autor: | fred97 |
Tipp: da f konvex und differenzierbar ist, ist f' monoton wachsend.
FRED
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Das ist uns eigentlich klar, jedoch wissen wir immer noch nicht, was uns dies für die Aufgabe helfen soll
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:17 Mo 18.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Das ist uns eigentlich klar, jedoch wissen wir immer noch
> nicht, was uns dies für die Aufgabe helfen soll
Die Differenzierbarkeit von f (und die Monotonoe von f') braucht man nicht !
(das ist mir gerade aufgefallen)
Was man braucht: f ist stetig und konvex.
$ [mm] x_1, ...,x_n [/mm] $ sei äquidistante Zerlegung von [a,b]
Dann ist, da f konvex ist:
$ [mm] f(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_i) \le \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}f(x_i) [/mm] $
Für n $ [mm] \to \infty [/mm] $ strebt die linke Seite gegen
$ [mm] f(\bruch{1}{b-a}\integral_{a}^{b}{x dx})= f(\bruch{a+b}{2}) [/mm] $
und die rechte Seite strebt gegen
$ [mm] \bruch{1}{b-a}\integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] $
Damit ist die linke Ungleichung gezeigt.
Setze g(x):= [mm] \bruch{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a).
[/mm]
Mache Dir klar: wegen der Konvexität von f ist f(x) [mm] \le [/mm] g(x) für alle x [mm] \in [/mm] [a,b]
Nun integriere
FRED
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