Riemann-Stieltjes Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Fr 12.09.2014 | | Autor: | welt |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich beschäftige mich gerade ein bisschen mit dem Riemann-Stieltjes Integral
und frage mich ob man das Integral auch über die Riemann SUmmen zeigen kann, ob also die Selbe gleichheit mit oberintegral unterintegral und Riemann Summe wie beim normalen Riemann Integral gilt (bei gegebener Integrierbarkeit)
In meinem Skript steht leider nix dazu sondern nur die Definition mit ober und unterintegral
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 So 14.09.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo welt,
zumindest mir ist nicht auf Anhieb klar, worauf du hinaus willst.
Du beziehst dich wahrscheinlich auf folgende ![[]](/images/popup.gif) Definition von Ober- und Untersummen für das Riemann-Stieltjes-Integral.
Vielleicht ist hiermit deine Frage ja schon beantwortet.
Oder möchtest du das Riemann-Stieltjes-Integral mit gewöhnlichen Riemann-Summen (Ober-/Untersumme statt Stieltjes-Ober-/Untersumme) herleiten? Dies ist offensichtlich nicht möglich.
Zu dieser Frage kann ich nur sagen, dass das Riemann-Stieltjes-Integral eine Erweiterung des Riemannschen Integralbegriffs darstellt, wobei du mit
[mm] \int_a^bf(x)dh(x) [/mm] mit $h(x)=x$
das gewöhnliche Riemann-Integral erhälst.
Vielleicht ist es ratsam deine Frage zu konkretisieren.
MfG
Ladon
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Hallo welt,
ja, es gibt auch Ober- und Untersumme für das Stieltjes-Integral.
Informationen dazu findet man bei Wikipedia (Stieltjesintegral) oder auch im Fichtenholz Band 3.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Mi 17.09.2014 | | Autor: | welt |
Hallo, danke für eure ANtworten
okay die frage war tatsächlich sehr unpräzise gestellt,
ich kenne die Definition auch so wie in WIkipedia, wenn Ober- und Untersumme gegen den selben Wert konvergieren.
Für das "normale" Riemann Integral gilt ja
[mm] $\int_a^b f(x)dx=lim_{Z\to0} \sum_Z f(x_i^Z)*(t_i^Z-t_{i-1}^Z) [/mm] $
für eine Zerlegung Z wobei Z hier auch gleichzeitig die Feinheit der Zerlegung angibt, das heißt eine FUnktion ist genau dann riemann integrierbar (also ober und untersumme konvergieren) wenn diese summe konvergiert
meine Frage nun, gibt es einen ähnlichen Satz für das Riemann Stieltjes Integral?
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Mi 17.09.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo welt,
vorab: Ich empfehle dir zu Riemann-Stieltjes-Integrale Analysis 2 von Walter. Ich besitze die 5. Auflage. In §6 findest du ein ganzes Kapitel zu dem Stieltjes-Integral.
Bitte beachte, dass du Stieltjes-Ober- (S(Z)) und Untersummen (s(Z)) wie in Wikipedia definiert nur dann zur Definition des Integrals nutzen kannst, wenn der Integrator h monoton wachsend ist.
Walter definiert das Riemann-Stieltjes-Integral wie folgt:
6.1 Das Riemann-Stieltjes-Integral. Es seien zwei Funktionen f,g:I=[a, [mm] b]\to\IR [/mm] gegeben. Wir bilden zu einer Zerlegung $Z [mm] =(t_0, [/mm] ... , [mm] t_p)$ [/mm] von I und einem zu Z passenden Satz [mm] $\tau= (\tau_1, [/mm] ... , [mm] \tau_p)$ [/mm] von Zwischenpunkten [mm] \tau_i\in[t_{i-1},t_{i}] [/mm] die Zwischensumme oder Riemann-Stieltjes-Summe
[mm] $\sigma(Z,\tau;f dg)\equiv\sigma(Z,\tau)=\sum_{i=1}^pf(\tau_i)[g(t_i)-g(t_{i-1})].$
[/mm]
Der gemäß 5.6 definierte Netzlimes (siehe dazu §5) bezüglich der Indexmenge $B$ aller zulässigen Paare (Z, [mm] \tau)
[/mm]
[mm] $\int_a^b [/mm] f dg [mm] \equiv \int_a^b [/mm] f(t) dg(t) := [mm] lim_Z \sigma(Z, \tau)$
[/mm]
wird das Riemann-Stieltjes-Integral (RS-Integral) von f bezüglich g genannt.
Dieses Integral existiert also und hat den Wert $J$ genau dann, wenn zu jedem
[mm] \epsilon>0 [/mm] eine Zerlegung [mm] $Z_\epsilon$, [/mm] von $I$ existiert mit
[mm] |J-\sigma(Z,\tau)|<\epsilon [/mm] für alle [mm] (Z,\tau) [/mm] mit [mm] Z\succ Z_\epsilon.
[/mm]
Für [mm] $g(t)\equiv [/mm] t$ erhält man das Riemann-Integral.
Dabei soll [mm] \prec [/mm] so etwas wie folgendes bedeuten:
[mm] Z\prec Z'\gdw Z'\mbox{ ist Verfeinerung von }Z
[/mm]
Für eine genauere Definition siehe §5.
Ich kann dir gerne noch genauer erläutern, was man unter dem Netzlimes zu verstehen hat. Aber ich denke bis hierhin hast du verstanden, dass es eine der Definition vom Riemann-Integral ähnliche Definition gibt. Falls du ernsthaft Interesse hast, solltest du dir den "Walter" ausleihen.
MfG
Ladon
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