Riemann-integrierbare Funktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 Di 23.05.2006 | | Autor: | mycha153 |
| Aufgabe | Es sei [mm] (f_n)_n_\in_\IN [/mm] eine folge Riemann-integrierbarer Funktionen auf [a,b], die glichmäßig gegen f : [mm] [a,b]\to \IR [/mm] konvergiere. Zeige, dass auch f Riemann- integrierbar ist und
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}= \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{a}^{b}{f_n(x)dx} [/mm] |
ich weiß leider nicht wie ich das beweisen kann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:10 Do 25.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo mycha!
> Es sei [mm](f_n)_n_\in_\IN[/mm] eine folge Riemann-integrierbarer
> Funktionen auf [a,b], die glichmäßig gegen f : [mm][a,b]\to \IR[/mm]
> konvergiere. Zeige, dass auch f Riemann- integrierbar ist
> und
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}= \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{a}^{b}{f_n(x)dx}[/mm]
>
> ich weiß leider nicht wie ich das beweisen kann
Nimm dich doch mal eine feste Zerlegung des Intervalls $[a, b]$ und schau dir die Unter- und Obersummen fuer die [mm] $f_n$ [/mm] und fuer $f$ an. Zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gilt ja, dass [mm] $|f_n(x) [/mm] - f(x)| < [mm] \varepsilon$ [/mm] fuer alle gross genugen $n$ und alle $x [mm] \in [/mm] [a, b]$ ist.
Was bedeutet das fuer die Unter- und Obersummen von $f$ im Vergleich zu denen von [mm] $f_n$ [/mm] fuer grosse $n$?
LG Felix
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