Riemann-integrierbare Funktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Mo 08.04.2013 | | Autor: | Lena23 |
| Aufgabe | | Es sei eine Riemann-integrierbare Funktion f:[0,1] [mm] \to \IR [/mm] gegeben, für die [mm] lim_{x(Pfeil nach oben)1}f(x)=a [/mm] gelte. Zeigen Sie, dass dann auch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{nt^{n-1}f(t) dt}=a [/mm] gilt. |
Hallo :)
Ich habe seit fast 2 Jahren nichts mehr mit Analysis am Hut gehabt und bin vollkommen draußen... Kann mir eventuell jemand dabei helfen, diese Aufgabe zu lösen? Was bedeutet überhaupt dieses x "Pfeil nach oben" 1 (ich weiß leider nicht, wie man hier den Pfeil nach oben darstellt) in der Aufgabenstellung?
Würde mich wirklich über Hilfe freuen ;)
LG Lena
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Hallo Lena23,
> Es sei eine Riemann-integrierbare Funktion f:[0,1] [mm]\to \IR[/mm]
> gegeben, für die [mm]lim_{x(Pfeil nach oben)1}f(x)=a[/mm] gelte.
> Zeigen Sie, dass dann auch [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{nt^{n-1}f(t) dt}=a[/mm]
> gilt.
> Hallo :)
>
> Ich habe seit fast 2 Jahren nichts mehr mit Analysis am Hut
> gehabt und bin vollkommen draußen... Kann mir eventuell
> jemand dabei helfen, diese Aufgabe zu lösen? Was bedeutet
> überhaupt dieses x "Pfeil nach oben" 1 (ich weiß leider
> nicht, wie man hier den Pfeil nach oben darstellt) in der
> Aufgabenstellung?
Der Code ist x\uparrow 1 für [mm]x\uparrow 1[/mm]
[mm]\lim\limits_{x\uparrow 1}f(x)[/mm] meint den linksseitigen Limes von [mm]f(x)[/mm] für [mm]x[/mm] gegen [mm]1[/mm]
> Würde mich wirklich über Hilfe freuen ;)
>
> LG Lena
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 Mo 08.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Der Code ist [mm]x\uparrow[/mm] 1 für [mm]x\uparrow 1[/mm]
oder [mm]x\nearrow[/mm],
> [mm]\lim\limits_{x\uparrow 1}f(x)[/mm]
oder [mm]\lim\limits_{x\nearrow 1}f(x)[/mm]
> meint den linksseitigen Limes
> von [mm]f(x)[/mm] für [mm]x[/mm] gegen [mm]1[/mm]
um's noch deutlicher zu machen: Man meint [mm] $\lim_{1 > x \to 1}f(x)\,.$
[/mm]
P.S. Da hier $f [mm] \colon [/mm] [0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] war, ist das aber alles auch unnötig:
Wenn man [mm] $\lim_{x \to 1}f(x)$ [/mm] schreibt, ist klar, dass hier dabei stets
$x [mm] \in D_f=[0,1]$ [/mm] sein muss!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:12 Mo 08.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lena,
> Es sei eine Riemann-integrierbare Funktion f:[0,1] [mm]\to \IR[/mm]
> gegeben, für die [mm]lim_{x(Pfeil nach oben)1}f(x)=a[/mm] gelte.
> Zeigen Sie, dass dann auch [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{nt^{n-1}f(t) dt}=a[/mm]
> gilt.
ich hab' jetzt keine Zeit drüber nachzudenken, aber warum probierst Du
nicht mal Produktintegration? Ich meine, wenn man sich [mm] $\int nt^{n-1}\; [/mm] dt$
mal alleine anguckt: EINE Stammfunktion von $t [mm] \mapsto nt^{n-1}$ [/mm] ist nicht
besonders schwer zu finden...
Und wenn das alleine noch nichts hilft: Eventuell sukzessive Produktintegration
(oder eine Formel suchen, die man induktiv beweist), oder oder oder...
Aber da rate ich in den dunklen Wald hinein. Später habe ich vielleicht mehr
Zeit, um genauer drüber nachzudenken...
Edit:
P.S. Ich habe zwar nur kurz eben drüber nachgedacht, aber ich glaube,
dass der Hinweis hier nicht zielführend ist. (Vielleicht sollte ich aber auch
nochmal in Ruhe drüber nachdenken!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:30 Di 09.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Lena,
>
> > Es sei eine Riemann-integrierbare Funktion f:[0,1] [mm]\to \IR[/mm]
> > gegeben, für die [mm]lim_{x(Pfeil nach oben)1}f(x)=a[/mm] gelte.
> > Zeigen Sie, dass dann auch [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{nt^{n-1}f(t) dt}=a[/mm]
> > gilt.
>
> ich hab' jetzt keine Zeit drüber nachzudenken, aber warum
> probierst Du
> nicht mal Produktintegration? Ich meine, wenn man sich [mm]\int nt^{n-1}\; dt[/mm]
>
> mal alleine anguckt: EINE Stammfunktion von [mm]t \mapsto nt^{n-1}[/mm]
> ist nicht
> besonders schwer zu finden...
>
> Und wenn das alleine noch nichts hilft: Eventuell
> sukzessive Produktintegration
> (oder eine Formel suchen, die man induktiv beweist), oder
> oder oder...
>
> Aber da rate ich in den dunklen Wald hinein. Später habe
> ich vielleicht mehr
> Zeit, um genauer drüber nachzudenken...
>
> Edit:
> P.S. Ich habe zwar nur kurz eben drüber nachgedacht, aber
> ich glaube,
> dass der Hinweis hier nicht zielführend ist. (Vielleicht
> sollte ich aber auch
> nochmal in Ruhe drüber nachdenken!)
Hallo Marcel,
Produktintegration ist hier schon deshalb keine gute Idee, weil f ja "nur" R -int.bar ist. f muß also keine Stammfunktion besitzen.
Gruß FRED
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:40 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Fred,
> > Hallo Lena,
> >
> > > Es sei eine Riemann-integrierbare Funktion f:[0,1] [mm]\to \IR[/mm]
> > > gegeben, für die [mm]lim_{x(Pfeil nach oben)1}f(x)=a[/mm] gelte.
> > > Zeigen Sie, dass dann auch [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{nt^{n-1}f(t) dt}=a[/mm]
> > > gilt.
> >
> > ich hab' jetzt keine Zeit drüber nachzudenken, aber warum
> > probierst Du
> > nicht mal Produktintegration? Ich meine, wenn man sich [mm]\int nt^{n-1}\; dt[/mm]
>
> >
> > mal alleine anguckt: EINE Stammfunktion von [mm]t \mapsto nt^{n-1}[/mm]
> > ist nicht
> > besonders schwer zu finden...
> >
> > Und wenn das alleine noch nichts hilft: Eventuell
> > sukzessive Produktintegration
> > (oder eine Formel suchen, die man induktiv beweist),
> oder
> > oder oder...
> >
> > Aber da rate ich in den dunklen Wald hinein. Später habe
> > ich vielleicht mehr
> > Zeit, um genauer drüber nachzudenken...
> >
> > Edit:
> > P.S. Ich habe zwar nur kurz eben drüber nachgedacht,
> aber
> > ich glaube,
> > dass der Hinweis hier nicht zielführend ist.
> (Vielleicht
> > sollte ich aber auch
> > nochmal in Ruhe drüber nachdenken!)
>
> Hallo Marcel,
>
> Produktintegration ist hier schon deshalb keine gute Idee,
> weil f ja "nur" R -int.bar ist.
ja, das war mir klar. Ich hatte gehofft, dass man ausnutzen kann, dass
$t [mm] \mapsto [/mm] n [mm] t^{n-1}$ [/mm] eine Stammfunktion hat. Allerdings haben wir
auch nicht die Diff'barkeit von [mm] $f\,,$ [/mm] also wie man's auch macht: Es ist
nie eine gute Idee. 
> f muß also keine
> Stammfunktion besitzen.
>
> Gruß FRED
> >
Gruß,
Marcel
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Hallo,
> Es sei eine Riemann-integrierbare Funktion f:[0,1] [mm]\to \IR[/mm]
> gegeben, für die [mm]lim_{x(Pfeil nach oben)1}f(x)=a[/mm] gelte.
> Zeigen Sie, dass dann auch [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{nt^{n-1}f(t) dt}=a[/mm]
> gilt.
Folgende Idee: Die Funktionenfolge [mm] $g_n:[0,1] \to \IR, [/mm] g(t) = f(t) [mm] \cdot [/mm] n [mm] \cdot t^{n-1}$ [/mm] ist auf $[0,c]$ für $c < 1$ gleichmäßig konvergent gegen die Nullfunktion $g:[0,c] [mm] \to \IR, [/mm] g(t) = 0$ (denn: [mm] $|g_n(t) [/mm] - g(t)| [mm] \le [/mm] |f(t)| [mm] \cdot [/mm] n [mm] \cdt c^{n-1} \to [/mm] 0$ unabhängig von t.
Daher kannst du das Integral aufteilen in
[mm] $\int_{0}^{1}g_n(t) [/mm] d t = [mm] \int_{0}^{c}g_n(t) [/mm] d t + [mm] \int_{c}^{1}g_n(t) [/mm] d t$.
Das erste Integral geht dann wegen der gleichmäßigen Konvergenz gegen 0 für [mm] $n\to \infty$.
[/mm]
Wegen [mm] $\lim_{t \uparrow 1}f(t) [/mm] = a$ gibt es ein $c [mm] \in \IR$ [/mm] so dass $f(t) [mm] \in [/mm] [a- [mm] \varepsilon, [/mm] a + [mm] \varepsilon]$ [/mm] für $c < t < 1$.
Nun kannst du das hintere Integral
[mm] $\int_{c}^{1}g_n(t) [/mm] d t$
nach oben und unten abschätzen und zeigen, dass es gegen a geht.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Mo 08.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan,
> Folgende Idee: Die Funktionenfolge [mm]g_n:[0,1] \to \IR, g(t) = f(t) \cdot n \cdot t^{n-1}[/mm]
> ist auf [mm][0,c][/mm] für [mm]c < 1[/mm] gleichmäßig konvergent gegen die
> Nullfunktion [mm]g:[0,c] \to \IR, g(t) = 0[/mm] (denn: [mm]|g_n(t) - g(t)| \le |f(t)| \cdot n \cdt c^{n-1} \to 0[/mm]
> unabhängig von t.
ich sehe in [mm] $|f(t)|\,$ [/mm] eine [mm] $t\,$-Abhängigkeit: [/mm] Wie schätzt Du [mm] $|f(t)|\,$ [/mm] auf $[0,c]$
nach oben ab, so, dass diese "verschwindet"? Denn oben erkenne ich nur
"punktweise Konvergenz gegen [mm] $0\,$".
[/mm]
P.S. Dir fehlt eigentlich nur eine Begründung, warum [mm] $|f|\,$ [/mm] auf [mm] $[0,c]\,$
[/mm]
beschränkt ist - aber die bekommst Du aus der Voraussetzung (es ist
sogar [mm] $|f|\,$ [/mm] beschränkt)!
Gruß,
Marcel
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Hi Marcel,
> Hallo Stefan,
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>
> > Folgende Idee: Die Funktionenfolge [mm]g_n:[0,1] \to \IR, g(t) = f(t) \cdot n \cdot t^{n-1}[/mm]
> > ist auf [mm][0,c][/mm] für [mm]c%20%3C%201[/mm] gleichmäßig konvergent gegen die
> > Nullfunktion [mm]g:[0,c] \to \IR, g(t) = 0[/mm] (denn: [mm]|g_n(t) - g(t)| \le |f(t)| \cdot n \cdt c^{n-1} \to 0[/mm]
> > unabhängig von t.
>
> ich sehe in [mm]|f(t)|\,[/mm] eine [mm]t\,[/mm]-Abhängigkeit: Wie schätzt
> Du [mm]|f(t)|\,[/mm] auf [mm][0,c][/mm]
> nach oben ab, so, dass diese "verschwindet"? Denn oben
> erkenne ich nur
> "punktweise Konvergenz gegen [mm]0\,[/mm]".
Du hast recht, da habe ich ein bisschen rumgeschlampt...
Die Beschränktheit von f folgt vermutlich aus der Riemann-Integrierbarkeit.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Di 09.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi Marcel,
>
> > Hallo Stefan,
> >
> >
> > > Folgende Idee: Die Funktionenfolge [mm]g_n:[0,1] \to \IR, g(t) = f(t) \cdot n \cdot t^{n-1}[/mm]
>
> > > ist auf [mm][0,c][/mm] für [mm]c%20%3C%201[/mm] gleichmäßig konvergent
> gegen die
> > > Nullfunktion [mm]g:[0,c] \to \IR, g(t) = 0[/mm] (denn: [mm]|g_n(t) - g(t)| \le |f(t)| \cdot n \cdt c^{n-1} \to 0[/mm]
>
> > > unabhängig von t.
> >
> > ich sehe in [mm]|f(t)|\,[/mm] eine [mm]t\,[/mm]-Abhängigkeit: Wie
> schätzt
> > Du [mm]|f(t)|\,[/mm] auf [mm][0,c][/mm]
> > nach oben ab, so, dass diese "verschwindet"? Denn oben
> > erkenne ich nur
> > "punktweise Konvergenz gegen [mm]0\,[/mm]".
>
>
> Du hast recht, da habe ich ein bisschen rumgeschlampt...
> Die Beschränktheit von f folgt vermutlich aus der
> Riemann-Integrierbarkeit.
nicht nur vermutlich: Auf [mm] $[a,b]\,$ [/mm] Riemann-integrierbare Funktionen müssen
(dort) beschränkt sein: Heuser, Satz 79.7, 14. Auflage (Teil 1)
Gruß,
Marcel
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