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Hallo, ich befasse mich gerade mit der Bildung des Flächenträgheitsmomentes einer durch eine Sinusfunktion und Abszisse begrenzenden Fläche.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Defininition des Flächenträgheitsmomentes bzgl. der y - Achse einer beliebigen Fläche lautet:
[mm] I_{yy}=\integral_{A}^{}{x^{2} dA}
[/mm]
In der Grafik ergibt sich eine solche Fläche bzgl. des roten Koordinatensystems zu
[mm] I_{yy_{i}}=\integral_{-(x_{i+1}-x_{i})/2}^{(x_{i+1}-x_{i})/2}{x^{2} f(x_{i}) dx_{i}}
[/mm]
Das gesamte Flächenträgheitsmoment ergibt sich dann aus der Summe aller einzelnen Flächenmomente:
[mm] I_{yy}=\summe_{i}{}\integral_{-(x_{i+1}-x_{i})/2}^{(x_{i+1}-x_{i})/2}{x^{2} f(x_{i}) dx_{i}}
[/mm]
Ich mächte jetzt die Differenz zw. dem [mm] x_{i+1} [/mm] und [mm] x_{i} [/mm] gegen 0 gehen lassen und Limes bilden.
Leider weiß ich nicht wie ich das machen soll, das diese [mm] \Delta x_{i} [/mm] in den Integrallsgrenzen stehen.
Ich hoffe, dass mit wenigstens einer eine Antwort geben kann.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Di 12.12.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Linuxfan
Das Integral ist schon das Flächenträgheitsmoment bez. der y-Achse.
Also [mm] $I_y=\int_{-p/2}^{p/2}x^2f(x) [/mm] dx$
mfG Moudi
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Kannst du mir deine Aussage bitte auch begründen!
Stimmst du mir zu, dass das Flächenträghietsmoment bzgl. der x - Achse
[mm] I_{xx}=\integral_{-p/2}^{p/2}{\integral_{-f(x)/2}^{f(x)/2}{y^{2} dy} dx}
[/mm]
ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Di 12.12.2006 | | Autor: | moudi |
Das Gesamte Flächenträgheistmoment ist die Summe aller Flächenträgheitsmomente der Flächen zwischen [mm] $x_i$ [/mm] und [mm] $x_{i+1}$. [/mm] Dieses Flächenträgheitsmoment ist ungefähr [mm] $x_i^2\cdot f(x_i) \cdot(x_{i+1}-x_i)$.
[/mm]
D.h. [mm] $\sum_i x_i^2\cdot f(x_i) \cdot(x_{i+1}-x_i)$ [/mm] ist eine Approximation des Flächenträgheitsmoment. Streben die Differezen [mm] $x_{i+1}-x_i$ [/mm] gegen 0, so wird die Summe zum Integral [mm] $\int x^2 [/mm] f(x) dx$.
mfG Moudi
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Ok da stimm ich dir jetzt zu.
Wie würdest du das Flächenträgheitsmoment bzgl. der x - Achse bestimmen. Dafür gibte es ja auch eine Formel:
[mm] I_{xx}=\integral_{A}^{}{y^{2} dA}
[/mm]
Das Deviationmoment ist als
[mm] I_{xy}=\integral_{A}^{}{xy dA}
[/mm]
gegeben.
Wie würest du die Lösung erhalten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 Mi 13.12.2006 | | Autor: | moudi |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Linuxfan
Formal ist das Flächenträgheitsmoment ein Integral über einer Fläche, es läuft daher auf ein zweidimensionales Integral hinaus.
Für $I_{yy}$erhält man
$I_{yy}=\int_{-p/2}^{p/2} \int_{0}^{f(x)}x^2 dy dx$, wenn f(x) positiv
$I_{yy}=\int_{-p/2}^{p/2} \int_{f(x)}^{0}x^2 dy dx$, wenn f(x) negativ.
Deshalb musst du für dein Beispiel die Integration unterteilen sonst erhälst du 0.
In diesem Fall kann man die Innere Integration (nach y) ausführen:
$\int_{0}^{f(x)}x^2 dy =x^2 \int_{0}^{f(x)}1dy=x^2f(x)$ und man erhält insgesamt:
$I_{yy}=\int_{-p/2}^{p/2}x^2 f(x) dx$. rsp.
$I_{yy}=\int_{-p/2}^{p/2}x^2\cdot(-f(x))\,dx$ , wenn f(x) negativ oder ohne Fallunterscheidung:
$I_{yy}=\int_{-p/2}^{p/2}x^2 |f(x)| dx$
Für $I_{xx}$ und $I_{xy}$ geht das genau gleich.
$I_{yy}=\int_{-p/2}^{p/2} \int_{0}^{f(x)}y^2 dy dx$, wiederum lässt sich die innere Integration ausführen:
$\int_{0}^{f(x)}y^2 dy=\left.\frac13 y^3\right|^{f(x)}_{0}=\frac13 (f(x))^3$. Daher
$I_{yy}=\frac13 \int_{-p/2}^{p/2}|f(x)|^3 dx$.
$I_{xy}=\int_{-p/2}^{p/2} \int_{0}^{f(x)}xy\,dy dx$, wiederum lässt sich die innere Integration ausführen:
$\int_{0}^{f(x)}xy\,dy=\left.\frac12 xy^2\right|^{f(x)}_{0}=\frac12 x(f(x))^2$. Daher
$I_{xy}=\frac13 \int_{-p/2}^{p/2}x(f(x))^2 dx$.
mfG Moudi
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