Riemann Zetafunktion < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 Mi 08.12.2010 | | Autor: | jarna37 |
| Aufgabe | | Beschreiben sie die Riemannsche Zeta-Funktion auf [mm] [1,\infty[ [/mm] und beweisen sie die Gleichung [mm] 5Zeta(4)=2Zeta(2)^{2} [/mm] |
Hallo!
Also uns wurde im Vertiefungsseminar diese Aufgabe gestellt. Im neuen Jahr muss ich diese Aufgabe dann vortragen. Allerdings hab ich keinen blassen Schimmer, wie ich da dran gehen soll.
Schon klar, Bücher hab ich durchsucht, Beschreibungen gefunden etc. aber das hilft mir ja alles nichts, wenn ich nicht nachvollziehen kann, was da steht. Natürlich gehe ich dann demnächst auch mal zu unserem Dozenten und lass es mir von ihm erklären, aber ich will ja trotzdem nicht total ahnungslos/unvorbereitet in diese Unterhaltung gehen.
Kann mir vielleicht jemand erstmal erklären, wozu diese Funktion überhaupt da ist. Den aus "Ihre Bedeutung liegt darin, dass ihre Nullstellen im Komplexen Auskunft über Primzahlen, deren Verteilung und viele derer Eigenschaften geben" werde ich einfach nicht schlau..
VIelen Dank für eure Hilfe
Grüße, Jana
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Mi 08.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Das ist sie:
[mm] $\zeta(s) [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}=1+\frac1{2^s}+\frac1{3^s}+\frac1{4^s}+\cdots. [/mm] $
Beispielsweise ist
[mm] \zeta(2) [/mm] = [mm] \frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\cdots=\frac{\pi^2}6,\quad\zeta(4) [/mm] = [mm] \frac{\pi^4}{90},
[/mm]
http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_ζ-Funktion
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Mi 08.12.2010 | | Autor: | jarna37 |
Ja, vielen Dank. Aber wie die Funktion formal aussieht, ist mir schon klar. Was hat sie aber zu bedeuten? Was sagt die Funktion aus? Schlussendlich: Wofür braucht man das?
Und jetzt nicht den schlauen Satz aus Wikipedia reinkopieren, dass hab ich ja vorhin schon gemacht (googeln kann ich ja ;)) - den versteh ich ja gerade nicht. Das Fehlen an Material ist auf keinen Fall das Problem. Nur ist das ganze Thema so komplex, dass ich das Material schon nicht verstehe...
Und warum ist [mm] Zeta(2)=\bruch{\pi^{2}}{6} [/mm] ? Ich hab die Zahl über die Bernoullifunktion ausgerechnet, den wie komm ich sonst von der Summe auf den Bruch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Mi 08.12.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Ja, vielen Dank. Aber wie die Funktion formal aussieht, ist
> mir schon klar. Was hat sie aber zu bedeuten? Was sagt die
> Funktion aus? Schlussendlich: Wofür braucht man das?
> Und jetzt nicht den schlauen Satz aus Wikipedia
> reinkopieren, dass hab ich ja vorhin schon gemacht (googeln
> kann ich ja ;)) - den versteh ich ja gerade nicht. Das
> Fehlen an Material ist auf keinen Fall das Problem. Nur ist
> das ganze Thema so komplex, dass ich das Material schon
> nicht verstehe...
Der Zusammenhang mit der Verteilung der Primzahlen kommt über das ![[]](/images/popup.gif) Euler-Produkt zustande, falls du das noch nicht entdeckt haben solltest. Und wie man [mm] \zeta(2) [/mm] berechnet, steht z. B. in Serre, Corps Locaux/Local Fields im Abschnitt über Modulformen. (Es gibt 5 Grundrechenarten: addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren und Modulformen.) Das hast du anscheinend aber auch schon woanders gefunden.
Hast du schon so etwas wie einen roten Faden für deinen Vortrag? Was ist Ziel der Aktion?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:06 Mi 08.12.2010 | | Autor: | jarna37 |
Ja, also das Euler-Produkt war uns dann schon vorgegeben in der vorgeschlagenen Quelle. Allerdings sind mir die Umformungen allgemein etwas schleierhaft. Auch ist es mir ein Rätsel, wie ich diese Gleichung beweisen soll.
Ziel des ganzen Vortrags ist es eben, diese FUnktion kennenzulernen. Wir sollen in dem Seminar lernen, auch komplizierte Beweise zu verstehen und die anderen näherzubringen.
Einen roten Faden hab ich mir noch nicht überlegt. Erst eine kurze Biographie, dann die Zeta-Funktion vorstellen (evtl aus dem Euler-Produkt "herleiten") und dann die Gleichung beweisen, am Ende noch die Riemannsche Vermutung mit den Nullstellen erwähnen...
Aber dazu muss ich den Spaß ja verstehen.
Was sagt den dann das Zeta aus? Also jetzt ist [mm] Zeta(2)=\bruch{\pi^{2}}{6} [/mm] - heißt das das über der 2 [mm] \bruch{pi^{2}}{6} [/mm] Primzahlen vorkommen - also über die Anzahl der Primzahlen? Das mit der Verteilung mag mir noch nicht in den Kopf reingehen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Mi 08.12.2010 | | Autor: | statler |
Kennst du dieses Buch? Wenn nicht, ausleihen und während der Vortragsvorbereitung 'reinziehen'.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:24 Mi 08.12.2010 | | Autor: | jarna37 |
Vielen Dank für den Tipp. Leider ist das in unsrer Unibib nicht verfügbar und extra dafür kaufen werd ichs mir wohl auch nicht... schade - trotzdem danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Do 23.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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