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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Riemannsche Dichte von X+a
Riemannsche Dichte von X+a < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Riemannsche Dichte von X+a: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:48 Mi 14.02.2018
Autor: Jellal

Hallo,

ein eigentlich einfacher Beweis, der mich verwirrt.

Gegeben sei die Verteilungsfunktion F und die Riemannsche Dichte f(u) der stetigen Zufallsvariablen X.
Zu zeigen: X+a mit a reell hat eine Verteilungsfunktion x-->F(x-a) und eine Riemannsche Dichte u-->f(u-a).

Nun ist ja [mm] F^{X+a}(k)=F(k-a) [/mm] wegen X+a=k [mm] \gdw [/mm] X=k-a.
Der erste Teil ist also schon erledigt.

Die Gleichheit will ich für den zweiten Teil benutzen:
Es ist [mm] F^{X+a}(k)=\integral_{-\infty}^{k}{g(u) du}=\integral_{-\infty}^{k-a}{f(v) dv}=\integral_{-\infty}^{k}{f(v+a) dv} [/mm]
Im letzten Schritt wurde nur substituiert.

Die Gleichheit ist erfüllt wenn zB. g(u)=f(v+a) ist
Aber wie komm ich jetzt auf g(u)=f(u-a)?

Stehe auf dem Schlauch, war ein langer Tag ~~

Beste Grüße

        
Bezug
Riemannsche Dichte von X+a: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:05 Mi 14.02.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

Tipp:
Die Dichte ist die Ableitung der Verteilungsfunktion,d.h. es gilt:

$g(k) = [mm] \left( F^{X+a}(k)\right)'=F'(k-a)$ [/mm]

edit: Und wenn du es auf deinem Weg machen willst, musst du im letzten Schritt nur korrekt substituieren.

Es ist nämlich:
$ [mm] F^{X+a}(k)=\integral_{-\infty}^{k}{g(v) dv}=\integral_{-\infty}^{k-a}{f(v) dv}=\integral_{-\infty}^{k}{f(v-a) dv} [/mm] $

Und man sieht sofort: $g(v) = f(v-a)$

Gruß,
Gono


Bezug
                
Bezug
Riemannsche Dichte von X+a: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:32 Mi 14.02.2018
Autor: Jellal

Hallo Gono,

ich sehe die Substitution nicht :(
Das v im rechten Term ist doch nicht das gleiche v wie im linken Term?

Bezug
                        
Bezug
Riemannsche Dichte von X+a: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:36 Mi 14.02.2018
Autor: Jellal

Ah, ich habs es. Hatte mich bei der neuen Obergrenze immer vertan.

Danke für deine Hilfe!

Bezug
                        
Bezug
Riemannsche Dichte von X+a: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:04 Mi 14.02.2018
Autor: Jellal

Ok, doch noch eine Frage zu einer weiteren Aufgabe.

Nun soll die Verteilungsfuntkion und die Dichte von -tX bestimmt werden. In der vorigen Aufgabe war t>0. Ich wollte jetzt einfach die vorige Aufgabe anwenden, also hat (-1) jetzt die Rolle des t in der vorigen Aufgabe.

Aber wenn ich das mache, komme ich nicht auf das richtige Ergebnis. Ich sehe keinen Grund, warum das obige Vorgehen nicht für t<0 funktionieren sollte?

Bezug
                                
Bezug
Riemannsche Dichte von X+a: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:51 Do 15.02.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

du musst beachten, dass sich bei der Definition der Verteilungsfunktion für $t<0$ das Relationszeichen umkehrt und du daher ohne weitere Schritte keine Verteilungsfunktion mehr hast.

Es ist: [mm] $F^{tX}(k) [/mm] = P(tX [mm] \le [/mm] k)$, für $t > 0$ erhalten wir einfach:

  [mm] $F^{tX}(k) [/mm] = P(tX [mm] \le [/mm] k) = [mm] P\left(X \le \frac{k}{t}\right) [/mm] = [mm] F^X\left(\frac{k}{t}\right)$ [/mm]

Für $t < 0$ erhalten wir jedoch:

[mm] $F^{tX}(k) [/mm] = P(tX [mm] \le [/mm] k) = [mm] P\left(X \ge \frac{k}{t}\right)$ [/mm]
Und letzteres ist nun keine Verteilungsfunktion mehr.
Das lässt sich allerdings beheben… siehst du wie?

Gruß,
Gono

Bezug
                                        
Bezug
Riemannsche Dichte von X+a: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:14 Sa 24.02.2018
Autor: Jellal

Hallo Gono,

vielen Dank für die Antwort, leider habe ich beim Lernen meinen Thread vergessen, tut mir Leid!

Ich sehe das Problem.

Ja, man konnte einfach 1-F(k/t) schreiben, nicht wahr?

Bezug
                                                
Bezug
Riemannsche Dichte von X+a: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:33 Sa 24.02.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ja, man konnte einfach 1-F(k/t) schreiben, nicht wahr?

in deinem Fall ja.
Mach dir aber noch klar, dass dafür die Stetigkeit von X notwendig ist!

Gruß,
Gono

Bezug
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