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| Aufgabe | Beweisen Sie den Riemannschen Umordnungssatz für Reihen.
Sei [mm] (a_k) [/mm] eine Folge in [mm] \IR [/mm] mit [mm] \summe a_k [/mm] konvergent, aber nicht absolut konvergent, dann existiert für alle s [mm] \in \IR [/mm] eine Umordnung [mm] \tau [/mm] mit [mm] s=\summe_{k=0}^{\infty} a_{\tau(k)}.
[/mm]
Ebenso existieren divergente Umordnungen. |
Hallo zusammen.
Hier meine Idee zu dieser Aufgabe.
Da [mm] \summe (a_k) [/mm] konvergiert, muss [mm] (a_k) [/mm] eine Nullfolge sein.
Nemme ich mir alle pos Elemente [mm] \Rightarrow [/mm] summe = [mm] +\infty
[/mm]
analog die Negativen [mm] \Rightarrow -\infty
[/mm]
weiterhin gebe ich mir 2 Folgen vor
[mm] a_n^+=\begin{cases} a_n, a_n>0 \\ 0, sonst \end{cases} [/mm] und [mm] a_n^-=\begin{cases} a_n, a_n<0 \\ 0, sonst \end{cases}
[/mm]
bilden man Reihen der beiden Folgen so ergibt sich folgendes
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_k^+= \infty [/mm] und [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_k^+= -\infty
[/mm]
beide Grenzwerte müssen so sein, den wäre [mm] a_k^+ \rightarrow \infty [/mm] und [mm] a_k^- \rightarrow [/mm] x dann würde [mm] a_k [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] konvergieren
[mm] \Rightarrow (a_k) [/mm] wäre keine Nullfolge [mm] \Rightarrow [/mm] Reihe würde nicht konvergieren, tut sie aber nach Voraussetzung
jetzt kann ich mich jeden Punkt s nähern, in dem Ich immer so lange [mm] a_k^+ [/mm] "hinaufgehe", bis ich s "überschritten" habe, dann "laufe" ich wieder auf [mm] a_k^- [/mm] herunter bis ich unter s bin, dann wieder hoch, usw.
somit nähere ich mich den Punkt, und somit ist der RUS bewiesen.
Wie schreibe ich das am Besten formal auf???
Stimmt meine Denkweise überhaupt???
Danke für eure Hilfe und ein schönes Wochenende wünscht euch Röby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 23.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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