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| Aufgabe | | Ist [mm] R=\{a+b\wurzel[3]{3}|a, b \in \IQ\} [/mm] ein Ring? |
Hallo zusammen, irgendwie steck ich bei obiger Aufgabe fest bzw. bin mir nicht sicher ob ich da den richten Ansatz gewählt habe. Vielleicht könnt Ihr mir ja weiterhelfen.
Also um zzg, dass R ein Ring ist muss ich die Ringaxiome testen.
D.h. zzg ist:
(1) Mit + bildet R eine abelsche Gruppe, also x+y=x+y mit x,y [mm] \in [/mm] R und das neutrale Element ist 0.
(2) Die Multiplikation ist assoziativ, d.h. x*(y*z)=(x*y)*z mit x,y,z [mm] \in [/mm] R und hat ein neutrales Element 1.
(3) Für alle x,y,z [mm] \in [/mm] R gilt dsa Distributivgesetz, d.h. (x+y)*z=xz+yz und z*(x+y)=zx+zy
Ich habe mit (3) begonnen, d.h. seien x,y,z [mm] \in [/mm] R, also
[mm] x=a_x+b_x\wurzel[3]{3} y=a_y+b_y\wurzel[3]{3} z=a_z+b_z\wurzel[3]{3}
[/mm]
[mm] x*(y+z)=(a_x+b_x\wurzel[3]{3})*(a_y+b_y\wurzel[3]{3} [/mm] + [mm] a_z+b_z\wurzel[3]{3})=a_xa_y+a_xb_y\wurzel[3]{3}+a_xa_z+a_xb_z\wurzel[3]{3} +a_yb_x\wurzel[3]{3}+b_xb_y\wurzel[3]{3}\wurzel[3]{3} +a_zb_x\wurzel[3]{3}+b_xb_z\wurzel[3]{3}\wurzel[3]{3} [/mm] = [mm] (a_x+b_x\wurzel[3]{3})*(a_y+b_y\wurzel[3]{3})+(a_x+b_x\wurzel[3]{3})*(a_z+b_z\wurzel[3]{3})=xy+xz
[/mm]
Kann ich das so machen? und wie würde ich (1) und (2) zeigen?
DANKE für Eure Hilfe!
LG Susi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Mo 28.11.2016 | | Autor: | hippias |
> Ist [mm]R=\{a+b\wurzel[3]{3}|a, b \in \IQ\}[/mm] ein Ring?
> Hallo zusammen, irgendwie steck ich bei obiger Aufgabe
> fest bzw. bin mir nicht sicher ob ich da den richten Ansatz
> gewählt habe. Vielleicht könnt Ihr mir ja weiterhelfen.
>
> Also um zzg, dass R ein Ring ist muss ich die Ringaxiome
> testen.
> D.h. zzg ist:
> (1) Mit + bildet R eine abelsche Gruppe, also x+y=x+y mit
> x,y [mm]\in[/mm] R und das neutrale Element ist 0.
> (2) Die Multiplikation ist assoziativ, d.h.
> x*(y*z)=(x*y)*z mit x,y,z [mm]\in[/mm] R und hat ein neutrales
> Element 1.
> (3) Für alle x,y,z [mm]\in[/mm] R gilt dsa Distributivgesetz, d.h.
> (x+y)*z=xz+yz und z*(x+y)=zx+zy
Ohne Angabe der beiden Verknüpfungen ist die Aufgabenstellung nicht vollständig; aus Deiner nachfolgenden Rechnung ist aber ersichtlich, dass Du die Addition und Multiplikation reeller Zahen meinst.
>
> Ich habe mit (3) begonnen, d.h. seien x,y,z [mm]\in[/mm] R, also
> [mm]x=a_x+b_x\wurzel[3]{3} y=a_y+b_y\wurzel[3]{3} z=a_z+b_z\wurzel[3]{3}[/mm]
>
> [mm]x*(y+z)=(a_x+b_x\wurzel[3]{3})*(a_y+b_y\wurzel[3]{3}[/mm] +
> [mm]a_z+b_z\wurzel[3]{3})=a_xa_y+a_xb_y\wurzel[3]{3}+a_xa_z+a_xb_z\wurzel[3]{3} +a_yb_x\wurzel[3]{3}+b_xb_y\wurzel[3]{3}\wurzel[3]{3} +a_zb_x\wurzel[3]{3}+b_xb_z\wurzel[3]{3}\wurzel[3]{3}[/mm]
> =
> [mm](a_x+b_x\wurzel[3]{3})*(a_y+b_y\wurzel[3]{3})+(a_x+b_x\wurzel[3]{3})*(a_z+b_z\wurzel[3]{3})=xy+xz[/mm]
>
> Kann ich das so machen?
Ja, obwohl insbesondere der Übergang vom 2. zum 3. Term näher begründet werden müsste.
> und wie würde ich (1) und (2)
> zeigen?
Ich verstehe Dein Problem nicht, denn das erledigst genauso wie 3.
Beachte aber folgendes: da Du offenbar die Verknüpfung reeller Zahlen betrachtest und Deine Menge ausschliesslich reelle Zahlen enthält, gelten diese Rechengesetze trivialerweise.
Es geht bei dieser Aufgabe um eine Bedingung, die gerne beim Nachrechnen von Gruppen-, Ring- und Körperaxiomen vergessen wird...
> DANKE für Eure Hilfe!
>
> LG Susi
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> Ist [mm]R=\{a+b\wurzel[3]{3}|a, b \in \IQ\}[/mm] ein Ring?
> Hallo zusammen, irgendwie steck ich bei obiger Aufgabe
> fest bzw. bin mir nicht sicher ob ich da den richten Ansatz
> gewählt habe. Vielleicht könnt Ihr mir ja weiterhelfen.
>
> Also um zzg, dass R ein Ring ist muss ich die Ringaxiome
> testen.
Hallo,
natürlich ist es, wenn eine Struktur daraufhin zu untersuchen ist, ob sie ein Ring ist, sinnvoll, die Ringaxiome zu prüfen.
Allerdings solltest Du Dir, bevor Du das tust, die Ringaxiome nochmal etwas genauer anschauen. In Deiner "Nacherzählung" der Axiome fehlen wesentliche Punkte.
> D.h. zzg ist:
> (1) Mit + bildet R eine abelsche Gruppe, also x+y=x+y mit
> x,y R und das neutrale Element ist 0.
Zu einer abelschen Gruppe gehört mehr als das, was Du schreibst.
Zunächst einmal ist zu prüfen, ob die Verknüpfung + zwei beliebige Elemente aus G zu so einem Element verknnüpft, daß dieses ebenfalls in G liegt.
Weiter sind dann Assoziativität, Kommutativität zu prüfen,
die Existenz eines neutralen Elementes in G, und ob es zu jedem Element aus G ein inverses in G gibt.
> (2) Die Multiplikation ist assoziativ, d.h.
> x*(y*z)=(x*y)*z mit x,y,z R und hat ein neutrales
> Element 1.
Auch die Bedingungen an die Multiplikation stellst Du verkürzt dar.
Zunächst ist zu prüfen, ob die Multiplikation * zwei beliebige Elemente aus G derart verknüpft, daß das entstehende Element in jedem Fall in G liegt.
Weiter muß die Verknüpfung assoziativ sein, wie Du auch schreibst.
Offenbar beinaltet "Ring" bei Euch die Existenz eines Einselementes - hier muß man gut schauen, ob dieses Element wirklich in G liegt.
> (3) Für alle x,y,z R gilt dsa Distributivgesetz, d.h.
> (x+y)*z=xz+yz und z*(x+y)=zx+zy
Ja.
Wie hippias bereits sagt, liegt der Knackpunkt bei dieser Aufgabe nicht bei den Rechengesetzen als solchen, denn da es sich (unausgesprochen) um die "normalen" Verknüpfungen in [mm] \IR [/mm] handelt, gelten diese hier natürlich auch.
Intensiv beschäftigen muß man sich jedoch mit dem Rest der Bedingungen.
LG Angela
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Moin, vielleicht hilft Folgendes weiter.
R ist kein Ring!
Zumindest nicht wenn man die üblichen Verknüpfungen von den reellen Zahlen betrachtet.
Besonders die Multiplikation ist hier keine Verknüpfung auf R. Das läss sich zeichen in dem man betrachtet.
Gruß
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