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| Aufgabe | Sei R ein kommutativer Ring und
N(R):={x [mm] \in [/mm] R [mm] |\exists [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] x^n=0 [/mm] }
die Menge der nilpotenten Elemente.
a)Zeigen sie,dass N(R) ein Ideal ist.
b)Beweisen sie für a [mm] \in R^{x},x \in [/mm] N(R),r [mm] \in [/mm] R,dass a-r*x [mm] \in R^{x}. [/mm] |
Hallo,
Ich hoffe mir kann jemand bei dieser Aufgabe helfen.
Um die a) zu zeigen,muss man doch zeigen dass:
-N(R) Untergruppe von (R,+) ist
für eine Untergruppe muss ja [mm] a^{-1} [/mm] in N(R) sein und a*b in N(R)
[mm] -\forall [/mm] a [mm] \in [/mm] N(R) & [mm] x\in [/mm] R ist x*a & a*x [mm] \in [/mm] N(R)
das müsste doch soweit stimmen oder?
Nur wie geht man da weiter?
Zu der b) habe ich irgendwie gar keine Idee.Wofür steht eigentlich dieses N bei N(R) oder ist das einfach nur so so benannt?
Ich bin euch sehr dankbar für Hilfe!
Liebe Grüße
eva marie
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Hallo,
> Sei R ein kommutativer Ring und
> [mm]N(R):={x [mm] \in [/mm] R [mm] |\exists [/mm] n [mm] \in \IN: x^n=0}
[/mm]
> die Menge der nilpotenten Elemente.
> a)Zeigen sie,dass N(R) ein Ideal ist.
> b)Beweisen sie für a [mm]\in R^{x},x \in[/mm] N(R),r [mm]\in[/mm] R,dass
> a-r*x [mm]\in R^{x}.[/mm]
> Hallo,
>
> Ich hoffe mir kann jemand bei dieser Aufgabe helfen.
> Um die a) zu zeigen,muss man doch zeigen dass:
> -N(R) Untergruppe von (R,+) ist
> für eine Untergruppe muss ja [mm]a^{-1}[/mm] in N(R) sein und a*b in
> N(R)
Da hier die Verknüpfung die Addition ist, wäre hier [mm] -a[/mm] sicher besser  ; ebenso [mm] a+b[/mm].
> [mm]-\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] N(R) & [mm]x\in[/mm] R ist x*a & a*x [mm]\in[/mm] N(R)
Der Ring ist kommutativ, also brauchst Du nur eins von beiden zu zeigen.
> das müsste doch soweit stimmen oder?
> Nur wie geht man da weiter?
Du kannst Dir etwas Schreib-/Rechnerei sparen, wenn Du das Untergruppenkriterium benutzt: seien also [mm]a,b[/mm] Nilpotente Elemente in R, und es sei etwa [mm] a^m=0, b^n=0[/mm]. Wenn Du dann die binomische Formel anwendest mit einem passenden [mm]r \in \IN[/mm] (wähle z.B. [mm]m+n[/mm], dann hast Du gezeigt, dass [mm]N(R)[/mm] Untergruppe von [mm](R, +)[/mm] ist.
Für den Rest von a) nutze aus, daß der Ring kommutativ ist.
> Zu der b) habe ich irgendwie gar keine Idee.Wofür steht
> eigentlich dieses N bei N(R) oder ist das einfach nur so so
> benannt?
Das ist nur eine Bezeichnung für die Menge.
Gruß
zahlenspieler
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Ich hoffe mir kann jemand bei dieser Aufgabe helfen.
> Um die a) zu zeigen,muss man doch zeigen dass:
> -N(R) Untergruppe von (R,+) ist
> für eine Untergruppe muss ja [mm]a^{-1}[/mm] in N(R) sein und a*b in
> N(R)
Da hier die Verknüpfung die Addition ist, wäre hier [mm] -a[/mm] sicher besser ; ebenso [mm] a+b/mm].
-Könnte man hier für -a [mm] (-x)^n [/mm] wählen und dann sagen ,dass für x=0 die Gleichung gilt(da [mm] -0^1=0)?Für [/mm] a+b vlt irgendwie [mm] x^n+x^{n-1}?
[/mm]
> [mm]-\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] N(R) & [mm]x\in[/mm] R ist x*a & a*x [mm]\in[/mm] N(R)
Der Ring ist kommutativ, also brauchst Du nur eins von beiden zu zeigen.
> das müsste doch soweit stimmen oder?
> Nur wie geht man da weiter?
Du kannst Dir etwas Schreibß-Rechnerei sparen, wenn Du das Untergruppenkriterium benutytö seien also [mm]a,b]/mm] Nilpotente Elemente in R, und es sei etwa [mm] a^m=0, b&n=0[/mm]. Wenn Du dann die binomische Formel anwendest mit einem passenden [mm]r \in \IN[/mm] (wähle z.B. m+n[/mm], dann hast Du gezeigt, dass [mm]N(R)[/mm] Untergruppe von [mm] (R, +)/mm] ist.
Für den Rest von a) nutze aus, daß der Ring kommutativ ist.
Also was du damit meinst,versteh ich irgendwie gar nicht:(
> Zu der b) habe ich irgendwie gar keine Idee.Wofür steht
> eigentlich dieses N bei N(R) oder ist das einfach nur so so
> benannt?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Fry |
Hi,
beweise am besten:
(1) 0 [mm] \in [/mm] N(R)
(2) [mm] a-b\in [/mm] N(R), falls [mm] a,b\in [/mm] N(R)
[mm] (3)ra\in [/mm] N(R), falls [mm] r\in [/mm] R, [mm] a\in [/mm] N(R)
(1) klar, denn [mm] 0^1=0
[/mm]
(3) Sei [mm] n\in \IN [/mm] mit [mm] a^n=0.
[/mm]
[mm] (ra)^n=r^n*a^n=...
[/mm]
(2) Da [mm] a,b\in [/mm] N(R) ex. n,m mit [mm] a^n=0 [/mm] und [mm] b^m=0
[/mm]
Sei O.B.d.A. [mm] n\le [/mm] m.
Zeige nun, dass [mm] (a-b)^{n+m}=0
[/mm]
Benutze die binomische Reihe und die Tatsache, dass [mm] a^l=0 [/mm] für [mm] l\ge [/mm] n und [mm] b^l=0 [/mm] für [mm] l\ge [/mm] m.
Gruß
Fry
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Hallo,
Danke für eure Hilfen!Ok,die a) habe ich soweit verstanden,denke ich.Bei der b) habe ich das [mm] R^x [/mm] so einegeben weil ich nicht wusste wie ich das sonst mit dem Formeleditor machen soll.Obwohl,dieses Zeichen müsste das sein: [mm] R^\times [/mm] ,auf jeden fall: [mm] R^x:= [/mm] {a [mm] \in [/mm] R | a Einheit } .
Hier hab ich aber mal keine Idee...
Lieben Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:22 Mi 03.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:45 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Fry |
Was soll denn bei b) [mm] R^x [/mm] sein ?
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