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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 Mi 29.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | | Sei (R,+,*) ein Nullteiler-freier Ring mit |R|=4. Zeigen Sie, dass in R gilt: 1+1=0 |
Hallo,
Also hab mal so angefangen: Seien a,b,1,0 [mm] \in [/mm] R, wobei die Elemente paarweise verschieden sein sollen.
Jetzt konnt ich weiterhin schließen, wie die ganzen multiplikativen Verknüpfen im Ring aussehen, vor allem muss a*b= 1 sein, also b das multiplikativ-Inverse zu a, denn a*b kann weder a noch b sein, denn sonst wäre entweder a=1 oder b=1, und wäre a*b=0, dann wäre a=0 oder b=0.
Aber bringt mir das etwas für die Addition? Ich komm bei der Addition einfach nicht weiter , ich weiß nur was 0+a, 0+b, 0+1 und 0+0 ergeben ( und vertauscht natürlich), aber was kann ich denn beispielsweise über 1+a schließen, außer dass das entweder b oder 0 ergibt bzw. bei 1+b ergibt das entsprechend entweder a oder 0? und 1+1 kann dementsprechend nur 0, a, oder b sein.
Ich komm an der Stelle einfach nicht weiter.
Wär dankbar, wenn von euch jmd. einen Tipp für mich hätte.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Mi 29.07.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> Sei (R,+,*) ein Nullteiler-freier Ring mit |R|=4. Zeigen
> Sie, dass in R gilt: 1+1=0
> Hallo,
> Also hab mal so angefangen: Seien a,b,1,0 [mm]\in[/mm] R, wobei die
> Elemente paarweise verschieden sein sollen.
> Jetzt konnt ich weiterhin schließen, wie die ganzen
> multiplikativen Verknüpfen im Ring aussehen, vor allem
> muss a*b= 1 sein, also b das multiplikativ-Inverse zu a,
> denn a*b kann weder a noch b sein, denn sonst wäre
> entweder a=1 oder b=1, und wäre a*b=0, dann wäre a=0 oder
> b=0.
> Aber bringt mir das etwas für die Addition? Ich komm bei
> der Addition einfach nicht weiter , ich weiß nur was 0+a,
> 0+b, 0+1 und 0+0 ergeben ( und vertauscht natürlich), aber
> was kann ich denn beispielsweise über 1+a schließen,
> außer dass das entweder b oder 0 ergibt
Naja, wäre 1 + a = 0, dann wäre nach Multiplikation mit b erst b + ab = 0 und dann wegen ab = 1 auch b + 1 = 0, also 1 + a = b + 1 und folglich a = b. Das soll aber gerade nicht sein.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:02 Sa 01.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei (R,+,*) ein Nullteiler-freier Ring mit |R|=4. Zeigen
> Sie, dass in R gilt: 1+1=0
Ein alternativer Ansatz: betrachte $(1 + [mm] 1)^2$. [/mm] Mit etwas Ausmultiplizieren und Gruppentheorie folgt, dass dies 0 ist. Was sagt jetzt die Nullteilerfreiheit?
LG Felix
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