Ring (dringend) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Do 01.12.2005 | | Autor: | SusiQ |
Hallo ihr...
hab da folgendes Problem:
Es sei R:=({0,a,b};+,*) ein Ring. Wie viele Möglichkeiten (bis auf Isomorphie) gibt es für R?
(d.h. also fuer a [mm] \not= [/mm] b )
Ich weiss dass ich diese Tabellen dafuer aufstellen kann, also fuer die Multiplikation und Addition:
z.B.
+ 0 a b * a b
0 0 a b a b a
a a b 0 b a b
b b 0 a
Ich weiss das ich durch das Distributivgesetz irgendwie mit reinbringen muss, da es ja in einem Ring gilt:
also:
0 = (a+b)a = aa + ba
0 = (a+b)b = ab + bb
0 = a(a+b) = aa + ab
0 = b(a+b) = ba + bb
daraus kann ich ja schon mal sehen dass ab=ba.
Ich weiss aber einfach nich ob mir das was hilft und wie ich auf die Anzahl der Möglichkeiten, sprich wieviel Ringe mit 3 Elementen es gibt.
Bitte um Hilfe und Erleuchtung!
Danke im Vorraus!
mfg SusiQ
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 Do 01.12.2005 | | Autor: | felixf |
Vorweg: Was genau verstehst du unter Ring? Muessen Ringe bei euch ein Einselement haben oder nicht? Im Rest meines Postings gehe ich davon aus, das es ein Einselement gibt; teilweise helfen die Hinweise vielleicht aber auch wenn es kein solches Element gibt.
Hinweis: denk mal nach, welche Werte die Charakteristik dieses Rings annehmen kann. Dann ist es ganz einfach.
Wenn du nicht weisst was die Charakteristik ist (also falls ihr das noch nicht hattet, ansonsten schau das in der VL nach): Was fuer Moeglichkeiten gibt es denn fuer (R, +)? Oder anders gefragt, wieviele Gruppen mit drei Elementen gibt es? Wenn du das hast, wirst du sehen dass wenn 1 = a ist, dann b = a + a ist. Somit kannst du mit 0 und 1 und der Addition jedes Element beschreiben. Und jetzt benutz die Distributivitaet um die Multiplikationstabelle aufzuschreiben (Hinweis: es gibt nur genau eine Moeglichkeit).
Du musst uebrigens bedenken, dass der Ring auch Nullteiler haben koennte, das also in der Multiplikationstabelle von ({a, b}, *) auch 0-en auftreten koennen. Also theoretisch 
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