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| Aufgabe | | (R,+,*) habe alle Eigenschaften eines Rings mit Eins, es fehlt jedoch die Eigenschaft, dass "+" kommutativ ist. Beweisen Sie, dass (R,+,*) dann ein Ring mit 1 ist. |
Hallo!
Also ich soll zeigen, dass "+" kommutativ ist.
Dazu habe ich mir überlegt, welche Gleichungen ich habe, die etwas vertauschen:
o [mm] $0_{R}*a [/mm] = [mm] 0_{R} [/mm] = [mm] a*0_{R}$ [/mm] für alle [mm] $a\in [/mm] R$
o [mm] $1_{R}*a [/mm] = [mm] a*1_{R}$ [/mm] für alle [mm] $a\in [/mm] R$
o $(-a) + a = [mm] 0_{R} [/mm] = a + (-a)$ für alle [mm] $a\in [/mm] R$
Und dann habe ich ja noch die Distributivgesetze:
o $a*(b+c) = a*b + a*c$
o $(a+b)*c = a*c + b*c$
Ich habe schon viel rumprobiert, bin aber noch zu keinem Ansatz gekommen, der mich zum Beweis gebracht hat. Darum möchte ich euch nun um Hilfe bitten, ein Ansatz reicht mir 
Grüße und danke für eure Hilfe,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:09 Mo 16.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> (R,+,*) habe alle Eigenschaften eines Rings mit Eins, es
> fehlt jedoch die Eigenschaft, dass "+" kommutativ ist.
> Beweisen Sie, dass (R,+,*) dann ein Ring mit 1 ist.
>
> Also ich soll zeigen, dass "+" kommutativ ist.
> Dazu habe ich mir überlegt, welche Gleichungen ich habe,
> die etwas vertauschen:
>
> o [mm]0_{R}*a = 0_{R} = a*0_{R}[/mm] für alle [mm]a\in R[/mm]
> o [mm]1_{R}*a = a*1_{R}[/mm]
> für alle [mm]a\in R[/mm]
> o [mm](-a) + a = 0_{R} = a + (-a)[/mm] für alle
> [mm]a\in R[/mm]
>
> Und dann habe ich ja noch die Distributivgesetze:
>
> o [mm]a*(b+c) = a*b + a*c[/mm]
> o [mm](a+b)*c = a*c + b*c[/mm]
>
> Ich habe schon viel rumprobiert, bin aber noch zu keinem
> Ansatz gekommen, der mich zum Beweis gebracht hat. Darum
> möchte ich euch nun um Hilfe bitten, ein Ansatz reicht mir
>
Es gilt ja $-(a + b) = (-b) + (-a)$. (Das zeigt man ja allgemein bei Gruppen.)
Gleichzeitig ist jetzt $(-a) = (-1) [mm] \cdot [/mm] a$ (nachrechnen!).
Bekommst du jetzt eine Idee?
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für deine Antwort!
> Es gilt ja [mm]-(a + b) = (-b) + (-a)[/mm]. (Das zeigt man ja
> allgemein bei Gruppen.)
Daran hatte ich gar nicht gedacht!
> Gleichzeitig ist jetzt [mm](-a) = (-1) \cdot a[/mm] (nachrechnen!).
Hierzu habe ich eine Frage. Wir haben in der Vorlesung eigentlich nur gesagt, dass 1*a = a*1 gilt wenn 1 ein Einselement. Kann ich daraus folgern, dass 1*a = a ist, oder muss das dazugeschrieben werden?
Den Nachweis von $(-a) = (-1)*a$ würde ich dann so führen:
$0 = 0*a = ((-1)+1)*a = (-1)*a + 1*a = (-1)*a + a $
woraus folgt, dass das Inverse zu (-1)*a gerade a sein muss, d.h. -a = (-1)*a.
Dann könnte ich jetzt schreiben:
$(-1)*(a+b) = -(a+b) = (-b) + (-a) = (-1)*b + (-1)*a = (-1)*(b+a)$.
Mhh. jetzt müsste ich noch mit dem Inversen von (-1) multiplizieren, oder? Ich weiß ja zufällig, dass (-1)*(-1) = 1*1 = 1 ist.
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:06 Mo 16.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> > Gleichzeitig ist jetzt [mm](-a) = (-1) \cdot a[/mm] (nachrechnen!).
>
> Hierzu habe ich eine Frage. Wir haben in der Vorlesung
> eigentlich nur gesagt, dass 1*a = a*1 gilt wenn 1 ein
> Einselement. Kann ich daraus folgern, dass 1*a = a ist,
> oder muss das dazugeschrieben werden?
Nun, wenn es ein Einselement ist, dann muss doch gerade $1 * a = a = a * 1$ fuer alle $a$ gelten. Irgendwie muss die Bezeichnung "Einselement" doch gerechtfertig werden.
> Den Nachweis von [mm](-a) = (-1)*a[/mm] würde ich dann so führen:
>
> [mm]0 = 0*a = ((-1)+1)*a = (-1)*a + 1*a = (-1)*a + a[/mm]
Ja, das geht so.
> woraus folgt, dass das Inverse zu (-1)*a gerade a sein
> muss, d.h. -a = (-1)*a.
Genau.
> Dann könnte ich jetzt schreiben:
>
> [mm](-1)*(a+b) = -(a+b) = (-b) + (-a) = (-1)*b + (-1)*a = (-1)*(b+a)[/mm].
Genau.
> Mhh. jetzt müsste ich noch mit dem Inversen von (-1)
> multiplizieren, oder? Ich weiß ja zufällig, dass
> (-1)*(-1) = 1*1 = 1 ist.
Ja. Aber es reicht zu wissen dass $-1$ ein Inverses hat, man muss es nicht konkret kennen. (Dass naemlich $-1$ das Inverse ist muesstest du erstmal zeigen  )
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für deine Antwort
Dass (-1) invers zu sich selbst ist, hatten wir schon gezeigt, aber du hast recht, man braucht es gar nicht.
Grüße,
Stefan
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