www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Lineare Algebra" - Ringe
Ringe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Ringe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:05 So 20.04.2008
Autor: Tommylee

Aufgabe
Prüfen Sie nach,ob die folgenden Mengen T mi den angegebenen Verknüpfungen Ringe oder sogar Körper sind :
T:= {a+b [mm] \wurzel[2]{2} [/mm] I a,b [mm] \in\IZ [/mm] }

       mit der üblichen Addition und Multiplikatition


Hey Leute

ich denke ich komme ganz gut klar mit der Aufgabe ,

eine kleine Unsicherheit hätte  ich :

DieMenge ist mit Z bezeichnet als gilt unter Anderem für einen Ring :

+: T X T [mm] \to [/mm] T , ( a,b) [mm] \in \mapsto [/mm]  a + b

a in der Aufgabe ist ja )(a) und b ist ja ( b* [mm] \wurzel[2]{2}) [/mm]

Da doch [mm] \wurzel[2]{2} \not\in \IZ [/mm]  

aber doch nach Z X Z  b auch in [mm] \IZ [/mm] liegen muss

kann es doch kein Ring sein oder ??

hab ich vielleicht ein ganz großes Verständnisproblem was Z  X Z betrifft

ich dachte bei Z X Z muss a in Z und b in Z liegen
oder z.B bei  D X F muss a in D und b in F liegen

Ich finde manchen Definitionen fehlet Exaktheit / Genauigkeit

habt Dank für Rat



        
Bezug
Ringe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:26 So 20.04.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Thomas,

> Prüfen Sie nach,ob die folgenden Mengen T mi den
> angegebenen Verknüpfungen Ringe oder sogar Körper sind :
>  T:= [mm] \{a+b\wurzel{2} \mid a,b \in\IZ \} [/mm]
>
> mit der üblichen Addition und Multiplikatition
>  
> Hey Leute
>  
> ich denke ich komme ganz gut klar mit der Aufgabe ,
>  
> eine kleine Unsicherheit hätte  ich :
>  
> DieMenge ist mit Z bezeichnet als gilt unter Anderem für einen Ring :

was bedeutet dieser Satz?

>  
> +: T X T [mm]\to[/mm] T , ( a,b) [mm]\in \mapsto[/mm]  a + b
>  
> a in der Aufgabe ist ja )(a) und b ist ja ( b* [mm]\wurzel[2]{2})[/mm] [notok]
>  
> Da doch [mm]\wurzel[2]{2} \not\in \IZ[/mm]  
>
> aber doch nach Z X Z  b auch in [mm]\IZ[/mm] liegen muss
>
> kann es doch kein Ring sein oder ??
>  
> hab ich vielleicht ein ganz großes Verständnisproblem was Z
>  X Z betrifft
>  
> ich dachte bei Z X Z muss a in Z und b in Z liegen
>  oder z.B bei  D X F muss a in D und b in F liegen
>  
> Ich finde manchen Definitionen fehlet Exaktheit /
> Genauigkeit


Die obige Definition ist ganz exakt!

Nenne die Elemente aus T doch besser $x,y,...$

Die Definition von T besagt nichts anderes, als dass ein Element [mm] $x\in [/mm] T$ sich darstellen lässt als [mm] $x=a+b\cdot{}\sqrt{2}$, [/mm] wobei $a$ und $b$ ganze Zahlen sind

Damit ergibt sich für deinen obigen Ansatz für die Abgeschlossenheit von + in T folgendes:

zz.: [mm] $\forall x,y\in [/mm] T : [mm] x+y\in [/mm] T$

dazu nimm dir beliebige [mm] $x,y\in [/mm] T$ her.

Das bedeutet nach Definition von T: es gibt ganze Zahlen [mm] $a_1,b_1\in\IZ$ [/mm] mit [mm] $x=a_1+b_1\sqrt{2}$ [/mm]

Und ebenso: es gibt ganze Zahlen [mm] $a_2,b_2\in\IZ$ [/mm] mit [mm] $y=a_2+b_2\sqrt{2}$ [/mm]

Nun ist zu prüfen, ob denn auch [mm] $x+y\in [/mm] T$ ist, also ob es ganze Zahlen $a,b$ gibt, so dass sich $x+y$ darstellen lässt als [mm] $a+b\sqrt{2}$ [/mm]

Nun, was ist $x+y$?

[mm] $\red{x}+\blue{y}=(\red{a_1+b_1\sqrt{2}})+(\blue{a_2+b_2\sqrt{2}})=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)\sqrt{2}$ [/mm]

die letzte Umformung gilt wg. der Rechnenregeln im Ring [mm] \IZ [/mm]

wähle also [mm] $a:=a_1+a_2$ [/mm] und [mm] $b:=b_1+b_2$, [/mm] so gilt [mm] $a,b\in\IZ$ [/mm] und [mm] $x+y=a+b\sqrt{2}$, [/mm] also [mm] $x+y\in [/mm] T$


Die anderen Ring-bzw. Körperaxiome kannst du ganz ähnlich nachprüfen

> habt Dank für Rat
>  
>  

LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Ringe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:21 So 20.04.2008
Autor: Tommylee

hi,danke erstmal ,ich bin Deine Frage gerade am durchdenken ,

vorab nochmal eine Frage

die 1. Bedingung für einen Ring:

Die Menge muss zusammen mit der addition eine abelsche Gruppesein

also erstmal prüfen ob es eine gruppe ist, dann

die 1. Bedingung für einen Ring:

Die Menge muss zusammen mit der addition eine abelsche Gruppe sein :

also in bezug auf die Menge T := [mm] {a+\wurzel[2]{2} I a,b \in \in } \in \IR [/mm]

[mm] a_{1} [/mm] + [mm] b_{1} [/mm] * [mm] \wurzel[2]{2} [/mm]   =  [mm] b_{1} [/mm] + [mm] a_{1} [/mm] * [mm] \wurzel[2]{2} [/mm]


[mm] \forall [/mm] a,b

[mm] a_{1} [/mm] ; [mm] a_{2} [/mm] ; [mm] b_{1} [/mm] ; [mm] b_{2} \in \IZ [/mm]


oder wie prüfe ich die kommutativität ( abelsch)  ??

tutt mir leit , stehe auf dem schlauch

Bezug
                        
Bezug
Ringe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:47 So 20.04.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

irgendwie hast du die Struktur der Menge T noch nicht ganz verstanden...

> hi,danke erstmal ,ich bin Deine Frage gerade am durchdenken
> ,
>  
> vorab nochmal eine Frage
>  
> die 1. Bedingung für einen Ring:
>  
> Die Menge muss zusammen mit der addition eine abelsche
> Gruppesein
>  
> also erstmal prüfen ob es eine gruppe ist, dann
>  
> die 1. Bedingung für einen Ring:
>
> Die Menge muss zusammen mit der addition eine abelsche
> Gruppe sein : [ok]
>  
> also in bezug auf die Menge T := [mm]{a+\wurzel[2]{2} I a,b \in \in } \in \IR[/mm]

[mm] $T=\{a+b\wurzel{2}\mid a,b\in\IZ\}$ [/mm]

Klicke mal auf meine Version der Menge T, dann siehst du den code, den du eintippen musst... ;-)

> [mm]a_{1}[/mm] + [mm]b_{1}[/mm] * [mm]\wurzel[2]{2}[/mm]   =  [mm]b_{1}[/mm] + [mm]a_{1}[/mm] *  [mm]\wurzel[2]{2}[/mm] [notok]
>  
>
> [mm]\forall[/mm] a,b
>
> [mm]a_{1}[/mm] ; [mm]a_{2}[/mm] ; [mm]b_{1}[/mm] ; [mm]b_{2} \in \IZ[/mm]
>  
>
> oder wie prüfe ich die kommutativität ( abelsch)  ??
>  
> tutt mir leit , stehe auf dem schlauch

Nein, lies nochmal meine obige Antwort durch:

Die Elemente in T - ich nenne sie x,y,... damit das nicht mit den a,b durcheinander gerät - sehen so aus:

[mm] $x=a+b\wurzel{2}$ [/mm] mit gewissen [mm] $a,b\in\IZ$ [/mm]

Für die Kommutativität von + in T musst du zeigen, dass für alle [mm] $x,y\in [/mm] T$ gilt: $x+y=y+x$

Dazu nehmen wir uns beliebige zwei Elemente $x$ und $y$ aus T her

Seien also [mm] $x,y\in T\Rightarrow \exists a_1,b_1\in\IZ [/mm] : [mm] x=a_1+b_1\sqrt{2}$ [/mm] und [mm] $\exists a_2,b_2\in\IZ [/mm] : [mm] y=a_2+b_2\sqrt{2}$ [/mm]

Dann ist [mm] $x+y=(a_1+b_1\sqrt{2})+(a_2+b_2\sqrt{2})=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)\sqrt{2}=(a_2+a_1)+(b_2+b_1)\sqrt{2}=(a_2+b_2\sqrt{2})+(a_1+b_1\sqrt{2})=y+x$ [/mm]

Mache dir bitte ganz klar, dass nicht die a,b in T sind, sondern die x und y, und die lassen sich darstellen als [mm] $x=a+b\sqrt{2}$ [/mm] mit [mm] $a,b\in\IZ$ [/mm]


Vllt. (be)schreiben wir mal die Menge T genauer.

In der Menge T sind ja keine ganzen Zahlen drin (wg. der Multiplikation mit [mm] \sqrt{2}, [/mm] sondern reelle Zahlen.

Also [mm] $T\subset\IR$, $T=\{x\in\IR\mid\exists a,b\in\IZ : x=a+b\sqrt{2}\}$ [/mm]

Das ist eine ausführlichere Definition der Menge T.

Ich hoffe, du bekommst damit nun einen Eindruck von der Struktur dieser Menge


Gruß

schachuzipus

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de