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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Auf [mm] $F:=\{f |f: \IR\to\IR\}$ [/mm] werden 2 Verknüpfungen definiert durch
$(f+g) (a):=f(a)+g(a)$ und $(f*g) (a):=f(a)*g(a) \ \ [mm] \forall \in \IR$
[/mm]
i) Ist $(F,+,*)$ ein Ring ?
ii) Ist [mm] $A:=\{f\in F \mid f(3) =0\}$ [/mm] ein Unterring ?
iii) Ist [mm] $B:=\{f\in F \mid f(7)=2+f(1)\}$ [/mm] ein Unterring ? |
Also F ist die menge aller Abbildung von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR.
[/mm]
Also für den Beweis ob $(F,+,*)$ ein Ring ist :
$(F,+)$ muss eine Gruppe sein
$(F,*)$ muss eine Halbgruppe sein
Und der Ring muss das Distributivgesetz erfüllen
Ich weiß nur nicht wie ich mit den abbilungen 'rechnen' soll.
Also fang ich bei $(F,+)$ ist eine Gruppe an .
es ist abgeschlossen
assoziativität :
$(f + g) + h (a):=(f(a) + g(a)) + h(a)$ und
$f + (g + h) (a):=f(a) + (g(a) + h(a))$ Aber kann ich dass so lassen ????
dann ein linksneutraöes element :
e + f = f
und linsinverse Elemente :
f' + f = 0
Aber kann ich da wirklich so einfach durch gehen ????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Sa 14.11.2009 | | Autor: | iks |
Hallo Ayame!
> Also fang ich bei [mm](F,+)[/mm] ist eine Gruppe an .
> es ist abgeschlossen
>
> assoziativität :
> [mm](f + g) + h (a):=(f(a) + g(a)) + h(a)[/mm] und
> [mm]f + (g + h) (a):=f(a) + (g(a) + h(a))[/mm] Aber kann ich
> dass so lassen ????
>
Nein du hast ja noch nichts weiter gezeigt. Das sollte ungefähr so aussehen:
Seien [mm] $f,g,h\in F,a\in\IR$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $(f+g)(a)+h(a)\stackrel{Df}{=}(f(a)+g(a))+h(a)=f(a)+(g(a)+h(a))\stackrel{Df}{=}f(a)+(g+h)(a)$
[/mm]
> dann ein linksneutraöes element :
> e + f = f
>
Nun du mußt schon eine Abbildung [mm] $e\in [/mm] F$ angeben die die geforderten Eigenschaften hat.
> und linsinverse Elemente :
> f' + f = 0
>
Und hier natürlich auch - es fehlt die Angabe deines linksinversen Elementes, so dass $f'+f=e$ gilt
mFg iks
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 So 15.11.2009 | | Autor: | Ayame |
Ok super danke. Soweit hab ich das alles hinbekommen.
Also die Gruppe (F,+) und die Halbgruppe (F,*) hab ich bewiesen.
Jetzt bin ich beim Distributivgesetz :
f(a) * (g + h) (a) = f(a) * g(a) + f(a) * h(a) wobei f,g,h [mm] \in [/mm] F
Aber wie veranschaulich is das am besten ?
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Hiho,
> Jetzt bin ich beim Distributivgesetz :
>
> f(a) * (g + h) (a) = f(a) * g(a) + f(a) * h(a) wobei f,g,h
> [mm]\in[/mm] F
Nein, das sollst du so nicht zeigen (zumindest nicht formal), sondern du musst zeigen, dass gilt:
$(f*(g+h))(a) = (f*g + f*h)(a)$
Am besten du fängst links an, wendest die Definition geeignet an (einmal in die eine dann in die andere Richtung), bis die rechte Seite dasteht.
MFG,
Gono.
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