Ringe und ihre Ideale < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | R sei ein kommutativer Ring mit 1 und A und B seien Ideale von R. Man zeige:
(i) $A [mm] \cap [/mm] B$ und $A * B := [mm] \{ \sum_{i=1}^{s} a_ib_i : a_i \in A, b_i \in B, 1\le s \le \infty \}$ [/mm] sind Ideale von R und es gilt $A*B [mm] \subset [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$.
(ii) $A + B := [mm] \{ a + b : a \in A, b \in B \}$ [/mm] ist das kleinste Ideal von R, das sowohl A als auch B enthält (jedes R-Ideal, das A und B enthält, soll also das Ideal A + B enthalten).
(iii) $A : B := { r [mm] \in [/mm] R : rb [mm] \in [/mm] A, [mm] \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B [mm] \}$ [/mm] ist ein Ideal von R, das A enthält.
(iv) $ [mm] \wurzel{A} [/mm] := [mm] \{ a\in R : a^n \ge A$ für ein $ n \le 1 \}$ [/mm] ist ein Ideal von R, das A enthält. (Tipp: Biniomialformel!), und es gilt [mm] $\wurzel{A*B}=\wurzel{A \cap B}$. [/mm] |
Huhu, mir liegt die oben gestellte Aufgabe vor.
Vielleicht erstmal zu unserer Definition eines Ideals:
$I [mm] \subset [/mm] R$, R ein Ring, heißt Ideal, wenn:
(i) $I$ ist eine additive Untergruppe von R (d.h. $I [mm] \ne \emptyset$ [/mm] und a, b [mm] $\in [/mm] I [mm] \Rightarrow [/mm] a-b [mm] \in [/mm] I$ )
(ii) $a [mm] \in [/mm] I, r [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] ra, ar [mm] \in [/mm] I$
Also ich weiß nicht so Recht, ob ich die Aufgabenstellung richtig verstanden habe.
Zu (i):
Hier ist 'nur' zu zeigen, dass $A*B [mm] \subset [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$ gilt, es ist aber nicht zu zeigen, dass A und B bzw. dann $A*B$ und $A [mm] \cap [/mm] B$ überhaupt Ideale sind, richtig?
Wie kann ich dann hier ran gehen?
Welche Sätze und Definitionen sind für die Aufgabe insgesamt noch hilfreich?
Kann man eventuell zwischen den Einzelaussagen günstige Beziehungen herstellen, also dass sich bspw. (iii) besser mit (i) zeigen lässt?
Mir fehlt hier leider ganz grob der Durchblick, deswegen hoffe ich auf ein paar Gedankenanstöße von euch.
Grüße :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> R sei ein kommutativer Ring mit 1 und A und B seien Ideale
> von R. Man zeige:
> (i) [mm]A \cap B[/mm] und [mm]A * B := \{ \sum_{i=1}^{s} a_ib_i : a_i \in A, b_i \in B, 1\le s \le \infty \}[/mm]
> sind Ideale von R und es gilt [mm]A*B \subset A \cap B[/mm].
> (ii) [mm]A + B := \{ a + b : a \in A, b \in B \}[/mm]
> ist das kleinste Ideal von R, das sowohl A als auch B
> enthält (jedes R-Ideal, das A und B enthält, soll also
> das Ideal A + B enthalten).
> (iii) [mm]A : B := { r \in R : rb \in A, \forall b \in B \}[/mm]
> ist ein Ideal von R, das A enthält.
> (iv) [mm]\wurzel{A} := \{ a\in R : a^n \ge A[/mm] für ein [mm]n \le 1 \}[/mm]
> ist ein Ideal von R, das A enthält. (Tipp:
> Biniomialformel!), und es gilt [mm]\wurzel{A*B}=\wurzel{A \cap B}[/mm].
>
> Huhu, mir liegt die oben gestellte Aufgabe vor.
>
> Vielleicht erstmal zu unserer Definition eines Ideals:
> [mm]I \subset \IR[/mm], R ein Ring, heißt Ideal, wenn:
> (i) [mm]I[/mm] ist eine additive Untergruppe von R (d.h. [mm]I \ne \emptyset[/mm]
> und a, b [mm]\in I \Rightarrow a-b \in I[/mm] )
> (ii) [mm]a \in I, r \in R \Rightarrow ra, ar \in I[/mm]
>
> Also ich weiß nicht so Recht, ob ich die Aufgabenstellung
> richtig verstanden habe.
>
> Zu (i):
> Hier ist 'nur' zu zeigen, dass [mm]A*B \subset A \cap B[/mm] gilt,
> es ist aber nicht zu zeigen, dass A und B bzw. dann [mm]A*B[/mm] und
> [mm]A \cap B[/mm] überhaupt Ideale sind, richtig?
> Wie kann ich dann hier ran gehen?
Es ist natürlich auch zu zeigen, dass $AB$ und [mm] $A\cap [/mm] B$ Ideale sind.
> Welche Sätze und Definitionen sind für die Aufgabe
> insgesamt noch hilfreich?
Diese gesamte Aufgabe lässt sich allein mit der Def. des Ideals und den hier gemachten Def. bearbeiten.
> Kann man eventuell zwischen den Einzelaussagen günstige
> Beziehungen herstellen, also dass sich bspw. (iii) besser
> mit (i) zeigen lässt?
Das interessiert mich jetzt von einem didaktischen Standpunkt: Wie kommst du darauf, dass (i) hier helfen könnte?
Die (iii) ist schlichtes Def. nachrechnen; ich sehe keinerlei Zusammenhang zur (i)
> Mir fehlt hier leider ganz grob der Durchblick, deswegen
> hoffe ich auf ein paar Gedankenanstöße von euch.
Zeige vielleicht erstmal überall, dass die Def. Ideale ergeben.
Vielleicht hilft es auch Beispiele in [mm] $\mathbb [/mm] Z$ zu betrachten
> Grüße :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo, danke für deine Antwort.
> Es ist natürlich auch zu zeigen, dass [mm]AB[/mm] und [mm]A\cap B[/mm]
> Ideale sind.
Ok, das verwundert mich etwas.
Wenn A und B Ideale von R sind, nach Aufgabenstellung, dann sind ihre Elemente auch Ideale von R.
Es ist klar, dass der Schnitt (sofern nicht leer) der zwei Mengen wieder ein Ideal ist, da beide Mengen Ideale sind. Wäre das eine logische Begründung, fehlt hier etwas, ist es Quatsch?)
> > Kann man eventuell zwischen den Einzelaussagen
> günstige
> > Beziehungen herstellen, also dass sich bspw. (iii) besser
> > mit (i) zeigen lässt?
> Das interessiert mich jetzt von einem didaktischen
> Standpunkt: Wie kommst du darauf, dass (i) hier helfen
> könnte?
> Die (iii) ist schlichtes Def. nachrechnen; ich sehe
> keinerlei Zusammenhang zur (i)
Es war nur ein beliebiges Beispiel, ohne irgendwelche Zusammenhänge dahinter vermutet zu haben (da ich sie wohl nicht erkennen (könnte)) - Die Frage daher, da man in unseren Aufgabenstellungen oft Resultate aus vorhergehenden Teilaufgaben verwenden konnte.
> Diese gesamte Aufgabe lässt sich allein mit der Def. des
> Ideals und den hier gemachten Def. bearbeiten.
> Zeige vielleicht erstmal überall, dass die Def. Ideale
> ergeben.
> Vielleicht hilft es auch Beispiele in [mm]\mathbb Z[/mm] zu
> betrachten
Gut zu wissen! :)
Mir fehlt jedoch gerade noch so das Verständnis dafür, wie ich an diese Aufgabe herangehe.
Vielleicht hast du ein kleines Beispiel für mich, dass es einmal verdeutlicht? Das wäre super!
P.S.: Hatte in der Definition einen kleinen Tippfehler, ist jetzt korrigiert.
Grüße
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> Hallo, danke für deine Antwort.
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> > Es ist natürlich auch zu zeigen, dass [mm]AB[/mm] und [mm]A\cap B[/mm]
> > Ideale sind.
>
> Ok, das verwundert mich etwas.
> Wenn A und B Ideale von R sind, nach Aufgabenstellung,
> dann sind ihre Elemente auch Ideale von R.
> Es ist klar, dass der Schnitt (sofern nicht leer) der zwei
> Mengen wieder ein Ideal ist, da beide Mengen Ideale sind.
> Wäre das eine logische Begründung, fehlt hier etwas, ist
> es Quatsch?)
Wenn du "sofern nicht leer" schreibst, ist dir wohl nicht so klar, dass das tatsächlich wieder ein Ideal ist...Du sollst zeigen, dass es eines ist, das heißt insbesondere zeigen, dass es nicht leer ist! Warum ist das so? Welches Element muss denn in A und B sein?
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> > > Kann man eventuell zwischen den Einzelaussagen
> > günstige
> > > Beziehungen herstellen, also dass sich bspw. (iii) besser
> > > mit (i) zeigen lässt?
> > Das interessiert mich jetzt von einem didaktischen
> > Standpunkt: Wie kommst du darauf, dass (i) hier helfen
> > könnte?
> > Die (iii) ist schlichtes Def. nachrechnen; ich sehe
> > keinerlei Zusammenhang zur (i)
>
> Es war nur ein beliebiges Beispiel, ohne irgendwelche
> Zusammenhänge dahinter vermutet zu haben (da ich sie wohl
> nicht erkennen (könnte)) - Die Frage daher, da man in
> unseren Aufgabenstellungen oft Resultate aus vorhergehenden
> Teilaufgaben verwenden konnte.
>
> > Diese gesamte Aufgabe lässt sich allein mit der Def. des
> > Ideals und den hier gemachten Def. bearbeiten.
>
> > Zeige vielleicht erstmal überall, dass die Def. Ideale
> > ergeben.
> > Vielleicht hilft es auch Beispiele in [mm]\mathbb Z[/mm] zu
> > betrachten
>
> Gut zu wissen! :)
>
> Mir fehlt jedoch gerade noch so das Verständnis dafür,
> wie ich an diese Aufgabe herangehe.
> Vielleicht hast du ein kleines Beispiel für mich, dass es
> einmal verdeutlicht? Das wäre super!
Zu zeigen ist jeweils folgendes: Sei J eine dieser Mengen oben. Dann muss
1. die 0 in J sein
2. die Summe zweier Elemente aus J wieder in J sein
3. das additiv Inverse eines jeden Elementes aus J wieder in J sein
4. Vielfache von Elementen aus J wieder in J sein
Beispiel: [mm] J=A\cap B [/mm]
1. Die 0 ist in A und in B, da es Ideale sind, also ist die 0 auch im Schnitt.
2. Sind a und b im Schnitt, so sind sie in A und B, da es Ideale sind, liegt auch ihre Summe in A und B, somit auch im Schnitt.
3. Ist [mm] a \in A \cap B [/mm], so gilt wieder (-a) [mm] \in [/mm] A sowie (-a) [mm] \in [/mm] B, also [mm] (-a)\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B
4. Ist a [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B, so ist [mm] r\cdot [/mm] a [mm] \in [/mm] A, B, da dies Ideale sind, also auch im Schnitt.
Genauso musst du auch an die anderen Mengen herangehen, wobei es da ein klein wenig kniffliger werden kann.
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> P.S.: Hatte in der Definition einen kleinen Tippfehler, ist
> jetzt korrigiert.
>
> Grüße
Übrigens sollte bei der Definiton von A+B die Summe endlich sein.
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Ok, dann probiere ich das mal an $A*B$
1. Die 0 ist in A & B, da Ideale, folgt 0 in Multiplikation
2. Seien [mm] $a_1, a_2 \in [/mm] A $ und $ [mm] b_1, b_2 \in [/mm] B $, dann ist auch $ [mm] a_1*a_2 [/mm] $ und [mm] $b_1*b_2 \in [/mm] A*B$, also ist ihre Summe ebenfalls in $A*B$, da sie Ideale sind.
3. Ist A [mm] $\in [/mm] A*B$, dann gilt: (-a) [mm] $\in [/mm] A$ und (-a) [mm] $\in [/mm] B$, da A Teiler von $A*B$, also (-a) $ [mm] \in [/mm] A*B $
4. Ist $a [mm] \in [/mm] A$, dann ist $r*a [mm] \in [/mm] A$, somit $r*a [mm] \in [/mm] A*B$, da Ideale
Bitte um Feedback. :)
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> Ok, dann probiere ich das mal an [mm]A*B[/mm]
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> 1. Die 0 ist in A & B, da Ideale, folgt 0 in
> Multiplikation
Ich nehme an, du meinst $ A [mm] \cdot [/mm] B $? Wenn dann heißt es im Produkt von A und B. Aber warum ist die 0 in [mm] A\cdot [/mm] B? Nutz' die Definition. [mm] 0=0\cdot [/mm] 0!
> 2. Seien [mm]a_1, a_2 \in A[/mm] und [mm]b_1, b_2 \in B [/mm], dann ist auch
> [mm]a_1*a_2[/mm] und [mm]b_1*b_2 \in A*B[/mm], also ist ihre Summe ebenfalls
Du sollst Elemente aus $ A [mm] \cdot [/mm] B $ nehmen und zeigen, dass ihre Summe dadrin ist. Und Produkte der Form [mm] a_{1}a_{2} [/mm] liegen im Allgemeinen überhaupt nicht in $ A [mm] \cdot [/mm] B $! Und du kannst auch nicht argumentieren, dass die Summe drin liegt, weils nen Ideal ist. Das sollst du doch zeigen! Nehm' dir zwei Elemente aus $ A [mm] \cdot [/mm] B $! Wie sehen die aus?
> in [mm]A*B[/mm], da sie Ideale sind.
> 3. Ist A [mm]\in A*B[/mm], dann gilt: (-a) [mm]\in A[/mm] und (-a) [mm]\in B[/mm], da
Nein! Wieso sollte das negative eines Elementes von $ A [mm] \cdot [/mm] B $ in A und B liegen?
> A Teiler von [mm]A*B[/mm], also (-a) [mm]\in A*B[/mm]
A ist kein "Teiler" von $ A [mm] \cdot [/mm] B $! Nur weil man das als Produkt schreibt, heißt es nicht, dass du hier deine Intuition vom Rechnen mit ganzen Zahlen benutzen kannst.
> 4. Ist [mm]a \in A[/mm], dann
> ist [mm]r*a \in A[/mm], somit [mm]r*a \in A*B[/mm], da Ideale
>
Genauso falsch.
Du musst die Definition benutzen! Ich mach dir mal Teil 4.
Sei $ x [mm] \in [/mm] A [mm] \cdot [/mm] B $. Dann ist nach Definition von $ A [mm] \cdot [/mm] B $ $ x $ von der Form $ x = [mm] \sum_{i=1}^{s} a_{i} b_{i} [/mm] $ mit gewissen $ [mm] a_{i} \in [/mm] A $ und $ [mm] b_{i} \in [/mm] B $. Zu zeigen ist nun, dass auch $ r [mm] \cdot [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \cdot [/mm] B $ für alle $ r [mm] \in [/mm] R $. Dies ist aber klar, da dies wieder von einer solchen Form ist:
$ r x = [mm] \sum_{i=1}^{s} \underbrace{r a_{i}}_{\in A} b_{i} [/mm] $ weil A ja ein Ideal ist.
> Bitte um Feedback. :)
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Ok, danke für die Hinweise, ich überarbeite dass dann in meinen Aufzeichnungen. Jetzt habe ich A + B betrachtet:
1. 0 ist in A und in B, also ist 0+0=0 auch in A+B
2. Ist a in A und b in B, dann ist auch a+b in A+B
3. Seien a in A und (-a) in A, da a-a = 0 in A liegt und
Seien b in B und (-b) in B, da b-b = 0 in B,
also ist a-b in A+B
4. x ist r*a in A, y ist s*b in B, also ist x+y = r*a + s*b in A+B
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> Ok, danke für die Hinweise, ich überarbeite dass dann in
> meinen Aufzeichnungen. Jetzt habe ich A + B betrachtet:
>
> 1. 0 ist in A und in B, also ist 0+0=0 auch in A+B
richtig
> 2. Ist a in A und b in B, dann ist auch a+b in A+B
Und? Es ist zu zeige, dass aus x,y in A+B auch x+y in A+B folgt.
> 3. Seien a in A und (-a) in A, da a-a = 0 in A liegt und
> Seien b in B und (-b) in B, da b-b = 0 in B,
> also ist a-b in A+B
Nein, siehe 2.
> 4. x ist r*a in A, y ist s*b in B, also ist x+y = r*a +
> s*b in A+B
Verwende die Def. von A+B.
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