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| Aufgabe 1 | Sei p eine Primzahl.
Gibt es einen Ringhomomorphismus:
[mm] $\phi [/mm] : [mm] \IZ [/mm] / [mm] p^2 \IZ [/mm] -> [mm] \IZ [/mm] / p [mm] \IZ$ [/mm] ? |
| Aufgabe 2 | Sei p eine Primzahl.
Gibt es einen Ringhomomorphismus:
[mm] $\psi [/mm] : [mm] \IZ [/mm] / p [mm] \IZ [/mm] -> [mm] \IZ [/mm] / [mm] p^2 \IZ$ [/mm] ? |
Hallo,
Ich habe zur obigen Aufgabe irgendwie keinen Ansatz. Ich weiß nicht genau, wonach ich suchen muss.
Wäre schön, wenn mir jmd. ein typisches Vorgehen erläutern würde, auch vllt. wenn 's ein allgemeinerer Fall wäre.
(Vorahnung:
1) Es gibt einen Ringhomomorphismus
2) Es gibt keinen Ringhomomorphismus
)
edit:
Habe gelesen, dass aus dem Homomorphiesatz wohl folgt, dass (in z.B. dem ersten Fall) p das [mm] p^2 [/mm] teilen muss, damit es einen Ringhom. gibt - mir ist nicht ganz klar, warum das aus dem Satz hervorgeht.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Mo 07.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Studiiiii!
> Sei p eine Primzahl.
> Gibt es einen Ringhomomorphismus:
> [mm]\phi : \IZ / p^2 \IZ -> \IZ / p \IZ[/mm] ?
>
> Sei p eine Primzahl.
> Gibt es einen Ringhomomorphismus:
> [mm]\psi : \IZ / p \IZ -> \IZ / p^2 \IZ[/mm] ?
> (Vorahnung:
> 1) Es gibt einen Ringhomomorphismus
> 2) Es gibt keinen Ringhomomorphismus
> )
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> edit:
> Habe gelesen, dass aus dem Homomorphiesatz wohl folgt,
> dass (in z.B. dem ersten Fall) p das [mm]p^2[/mm] teilen muss, damit
> es einen Ringhom. gibt - mir ist nicht ganz klar, warum das
> aus dem Satz hervorgeht.
Der Homomorphiesatz liefert eine Methode, Ringhomomorphismen der Form
[mm] $R/I\to [/mm] R'$
aus Ringhomomorphismen [mm] $R\to [/mm] R'$ zu konstruieren.
Wir suchen bei Aufgabe 1 einen Ringhomomorphismus [mm] $\IZ/p^2\IZ\to\IZ/p\IZ$.
[/mm]
Um nun einen solchen Ringhomomorphismus durch den Homomorphiesatz geliefert zu bekommen, benötigen wir zunächst einen Ringhomomorphismus [mm] $\IZ\to\IZ/p\IZ$.
[/mm]
Die kanonische Projektion
[mm] $\pi\colon\IZ\to\IZ/p\IZ,\quad n\mapsto n+p\IZ$
[/mm]
ist ein solcher Ringhomomorphismus.
Wende nun den Homomorphiesatz auf [mm] $\pi$ [/mm] und das Ideal [mm] $p^2\IZ\subseteq\IZ$ [/mm] an.
Zu Aufgabe 2:
Angenommen es gibt einen Ringhomomorphismus [mm] $\psi\colon\IZ/p\IZ\to\IZ/p^2\IZ$.
[/mm]
Wie müsste dann für
[mm] $a:=0+p\IZ=p+p\IZ=\underbrace{(1+p\IZ)+(1+p\IZ)+\ldots+(1+p\IZ)}_{p\text{ Summanden }(1+p\IZ)}$
[/mm]
[mm] $\psi(a)$ [/mm] lauten?
Zum einen
[mm] $\psi(a)=\psi(0+p\IZ)=\ldots$,
[/mm]
zum anderen
[mm] $\psi(a)=\psi(\underbrace{(1+p\IZ)+(1+p\IZ)+\ldots+(1+p\IZ)}_{p\text{ Summanden }(1+p\IZ)})=\ldots$
[/mm]
Leite daraus einen Widerspruch her.
Viele Grüße
Tobias
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