www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Ringhomomorphismus
Ringhomomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Ringhomomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:21 Mo 29.12.2014
Autor: YuSul

Aufgabe
Sei [mm] $\phi:R\to [/mm] S$ Ringhomomorphismus.

Zeige:

I) Wenn [mm] $J\unlhd [/mm] S$, so ist [mm] $\phi(J)^{-1}\unlhd [/mm] R$ ein Ideal.

II) Wenn [mm] $I\unlhd [/mm] R$ ein Ideal, so ist [mm] $\phi(I)\unlhd\phi(R)$ [/mm]


Hallo,

ich bearbeite gerade diese Aufgabe und benötige glaube ich etwas Hilfe.

II) sollte ganz leicht sein. Das folgt ja direkt aus der Eigenschaft eines Ideals und den Homomorphieeigenschaften.

Da I Ideal ist, ist für alle [mm] $i\in [/mm] I$ auch [mm] $ir\in [/mm] I$ und [mm] $ri\in [/mm] I$ mit [mm] $r\in [/mm] R$.

Somit [mm] $\phi(ir)=\phi(i)\phi(r)$ [/mm] (Homomorphie)
und [mm] $\phi(ri)=\phi(r)\phi(i)$. [/mm]

Für [mm] $\phi(i)\in\phi(I)$ [/mm] ist also [mm] $\phi(i)\phi(r)\in\phi(I)$ [/mm] und [mm] $\phi(r)\phi(i)\in [/mm] I$
für alle [mm] $\phi(r)\in\phi(R)$. [/mm] Also ist [mm] $\phi(I)\unlhd\phi(R)$ [/mm] ein Ideal.

Das müsste passen, richtig?

Zu I)

Hier bin ich mir ehrlich gesagt nicht sicher, ob das Inverse von [mm] $\phi$ [/mm] oder die Umkehrabbildung gemeint ist.
Ich würde zum Inversen tendieren. Denn [mm] $\phi$ [/mm] muss ja nicht zwangsläufig eine Umkehrabbildung haben, oder?
Dann müsste man doch Isomorphie fordern?

        
Bezug
Ringhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:41 Mo 29.12.2014
Autor: UniversellesObjekt


> Sei [mm]\phi:R\to S[/mm] Ringhomomorphismus.
>  
> Zeige:
>  
> I) Wenn [mm]I\unlhd S[/mm], so ist [mm]\phi(J)^{-1}\unlhd R[/mm] ein Ideal.
>  
> II) Wenn [mm]I\unlhd R[/mm] ein Ideal, so ist [mm]\phi(I)\unlhd\phi(R)[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich bearbeite gerade diese Aufgabe und benötige glaube ich
> etwas Hilfe.
>  
> II) sollte ganz leicht sein. Das folgt ja direkt aus der
> Eigenschaft eines Ideals und den Homomorphieeigenschaften.
>  
> Da I Ideal ist, ist für alle [mm]i\in I[/mm] auch [mm]ir\in I[/mm] und [mm]ri\in I[/mm]
> mit [mm]r\in R[/mm].
>  
> Somit [mm]\phi(ir)=\phi(i)\phi(r)[/mm] (Homomorphie)
>  und [mm]\phi(ri)=\phi(r)\phi(i)[/mm].
>  
> Für [mm]\phi(i)\in\phi(I)[/mm] ist also [mm]\phi(i)\phi(r)\in\phi(I)[/mm]
> und [mm]\phi(r)\phi(i)\in I[/mm]
>  für alle [mm]\phi(r)\in\phi(R)[/mm]. Also
> ist [mm]\phi(I)\unlhd\phi(R)[/mm] ein Ideal.
>  
> Das müsste passen, richtig?

Wenn dir klar ist, dass das homomorphe Bild einer Untergruppe eine Untergruppe der Zielgruppe ist, solltest du das noch anmerken, und ansonsten solltest du es dir klar machen.


> Zu I)
>  
> Hier bin ich mir ehrlich gesagt nicht sicher, ob das
> Inverse von [mm]\phi[/mm] oder die Umkehrabbildung gemeint ist.
>  Ich würde zum Inversen tendieren. Denn [mm]\phi[/mm] muss ja nicht
> zwangsläufig eine Umkehrabbildung haben, oder?
> Dann müsste man doch Isomorphie fordern?

Abgesehen davon, dass in I) einmal I und einmal J steht, ist [mm] $\varphi^{-1}(J)=\{r\in r\mid \varphi (r)\in J\} [/mm] $ das Urbild von J.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                
Bezug
Ringhomomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:51 Mo 29.12.2014
Autor: YuSul

zu II)

Ok, aber ansonsten passt es?

zu I)

Ja, du hast wieder recht. Das liegt leider daran, dass mein handschriftliches I und J recht ähnlich aussehen. Da habe ich mich verguckt. :(
Ich habe es oben editiert.

Also [mm] $\phi^{-1}(J)=\{r\in R|\phi(r)\in J\}$ [/mm]

Ok, ich gucke mal was ich damit zustande kriege.

Bezug
                        
Bezug
Ringhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:59 Mo 29.12.2014
Autor: UniversellesObjekt

Ja.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                                
Bezug
Ringhomomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:54 Mo 29.12.2014
Autor: YuSul

Kann es sein, dass II) im Grunde genau so einfach ist?
Was mir irgendwie Probleme bereitet ist warum ich einfach so von der Umkehrfunktion sprechen kann. Warum existiert diese?

Gedacht hatte ich nun einfach wie folgt:

Da [mm] $J\unlhd [/mm] S$ ist [mm] $js\in [/mm] J$ und [mm] $sj\in [/mm] J$. Somit

[mm] $\phi^{-1}(js)\in\phi^{-1}(J)$ [/mm]

[mm] $\phi^{-1}(j) \underbrace{\phi^{-1}(s)}_{r}\in\phi^{-1}(J)$ [/mm]

[mm] $\phi^{-1}(j)r\in\phi^{-1}(J)$ [/mm]

Für [mm] $\phi^{-1}(sj)$ [/mm] wäre es analog.

Das Problem ist eben das mit der Umkehrfunktion.
Warum sollten die Elemente einfach so umkehrbar sein, und warum sollte die Umkehrfunktion auch die Homomorphieeigenschaft haben?

Nur weil [mm] $\phi: R\to [/mm] S$ ein Ringhomomorphismus ist heißt das ja noch lange nicht, dass es überhaupt so eine Umkehrfunktion geben muss. Braucht man hier keinen Isomorphismus, dann wäre alles klar, richtig? Also wenn [mm] $\phi$ [/mm] ein Ringisomorphismus wäre, dann könnte ich es so machen wie oben? Stimmt das?
Aber so wie ich es gemacht habe geht es vermutlich nicht, weil eben diese Eigenschaft fehlt.

Es muss ja nicht jedes Element aus J genau ein Urbild in R haben, oder sehe ich das falsch?

Bezug
                                        
Bezug
Ringhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 Mo 29.12.2014
Autor: Schadowmaster

moin,


> Das Problem ist eben das mit der Umkehrfunktion.
>  Warum sollten die Elemente einfach so umkehrbar sein?

Wie du selbst gemerkt hast, hapert es an dieser Stelle. Natürlich kannst du nicht einfach die Umkehrfunktion verwenden; manche Elemente könnten mehrere oder gar kein Urbild haben. Stattdessen versuche es mal so: Sei $x [mm] \in \phi^{-1}(J)$. [/mm] Das heißt [mm] $\phi(x) \in [/mm] J$ und sei $r [mm] \in [/mm] R$. Dann gilt $rx [mm] \in \phi^{-1}(J)$, [/mm] da [mm] $\phi(rx) \in [/mm] J$ <-- das solltest du dann noch begründen, dann bist du mit diesem ersten Schritt fertig. :)
Und eine allgemeine Sache noch: für Ideale musst du nicht nur zeigen, dass sie unter Multiplikation abgeschlossen sind, sondern auch unter Addition.


lg

Schadow

Bezug
                                                
Bezug
Ringhomomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:45 Mo 29.12.2014
Autor: YuSul

[mm] $\phi(rx)\in [/mm] J$ gilt, weil [mm] $J\unlhd [/mm] S$. Mit der Homomorphieeigenschaft ist

[mm] $\phi(rx)=\phi(r)\phi(x)$. [/mm] Dabei ist [mm] $\phi(x)\in [/mm] J$ und [mm] $\phi(x)\in [/mm] S$. Wie gesagt ist dies nun ein Element von J, weil J ein Ideal von S ist.

Das meintest du doch hoffentlich.

Die Ideal Eigenschaften für die Addition nachzuprüfen sollte doch Analog zur Multiplikation funktionieren, denn für einen Ringhomomorphismus gilt ja

[mm] $\phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y)$ [/mm]

genau wie

[mm] $\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$ [/mm]

richtig?

Danke für den Hinweis, daran hätte ich gar nicht gedacht.

Bezug
                                                        
Bezug
Ringhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:10 Di 30.12.2014
Autor: UniversellesObjekt

Also, wir wollen (unter anderem) zeigen: Für [mm] $r\in [/mm] R$ und [mm] $i\in\phi^{-1}(J)$ [/mm] gilt [mm] $ri\in\varphi^{-1}(J)$. $i\in\phi^{-1}(J)$ [/mm] heißt genau, dass [mm] $\phi(i)\in [/mm] J$. Es gilt daher [mm] $\phi(ri)=\underbrace{\phi(r)}_{\in S}\underbrace{\phi(i)}_{\in J}$. [/mm] Da $J$ ein Ideal in $S$ ist, folgt [mm] $\phi(ri)\in [/mm] J$ und das ist äquivalent zu [mm] $ri\in\varphi^{-1}(J)$. [/mm]

Genauso machst du es jetzt mit der Null und der Abgeschlossenheit unter Addition und Subtraktion.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                                                                
Bezug
Ringhomomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:48 Di 30.12.2014
Autor: YuSul

Das die Null enthalten ist liegt doch einfach daran, dass J schon ein Ideal ist, also die Null enthält und Homomorphismen neutral Element auf neutral Element abbilden.

Die Abgeschlossenheit bezüglich Addition (müsste man es strenggenommen auch für die Subtraktion zeigen, wobei das ja eigentlich das gleiche ist.)
folgt Analog zur Multiplikation.

Bezug
                                                                        
Bezug
Ringhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:44 Di 30.12.2014
Autor: UniversellesObjekt

Ja, es geht ganz leicht und analog. Rechne es doch einfach mal vor :-)

Normalerweise muss man, wenn man die Untergruppeneigenschaft prüft, prüfen, dass Inverse enthalten sind. Im Fall von Idealen kann man das überspringen, wenn man vorher $ RI=I$ geprüft hat, denn dann gilt ja für alle $ [mm] i\in [/mm] I $ auch [mm] $-1*i\in [/mm] I $.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                                                                                
Bezug
Ringhomomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:04 Di 30.12.2014
Autor: YuSul

Ok.

Sei [mm] $x\in\phi^{-1}(J)$, [/mm] sei [mm] $r\in [/mm] R$, dann ist [mm] $x+r\in\phi^{-1}(J)$, [/mm] weil

[mm] $\phi(x+r)=\underbrace{\phi(x)}_{\in S}+\underbrace{\phi(r)}_{\in S}\in [/mm] J$, da J ein Ideal von S.

Es ist [mm] $0\in \phi^{-1}(J)$, [/mm] da [mm] $0\in [/mm] J$, weil J Ideal. Somit [mm] $\underbrace{\phi(0)}_{0_S}\in [/mm] J$



Bezug
                                                                                        
Bezug
Ringhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:08 Di 30.12.2014
Autor: UniversellesObjekt


> Ok.
>  
> Sei [mm]x\in\phi^{-1}(J)[/mm], sei [mm]r\in R[/mm], dann ist
> [mm]x+r\in\phi^{-1}(J)[/mm], weil

Moment! Die Summe zweier Elemente eines Ideals muss wieder im Ideal liegen, keineswegs jede Summe eines Idealelements mit einem Ringelement! Sonst gäbe es nur das Ideal $R$. Nimm $x$ und $r$ beide aus [mm] $\phi^{-1}(J)$, [/mm] dann kannst du...

> [mm]\phi(x+r)=\underbrace{\phi(x)}_{\in S}+\underbrace{\phi(r)}_{\in S}\in J[/mm],
> da J ein Ideal von S.

... hier unter beide Terme ein [mm] $\in [/mm] J$ schreiben, und dann ist der Schluss auch richtig.

> Es ist [mm]0\in \phi^{-1}(J)[/mm], da [mm]0\in J[/mm], weil J Ideal. Somit
> [mm]\underbrace{\phi(0)}_{0_S}\in J[/mm]
>  
>  

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                                                                                                
Bezug
Ringhomomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:24 Di 30.12.2014
Autor: YuSul

Ok, wenn [mm] $x,r\in\phi^{-1}(J)$ [/mm] dann müsste nun der Schluss wie oben Funktionieren.

[mm] $x+r\in\phi^{-1}(J)$ [/mm]

[mm] $\phi(x+r)\in [/mm] J$

[mm] $\phi(x)+\phi(r)\in [/mm] J$, da J ein Ideal in S.



Bezug
                                                                                                        
Bezug
Ringhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:25 Di 30.12.2014
Autor: UniversellesObjekt

Genau und mit [mm] $\phi(x+r)\in J\iff x+r\in\phi^{-1}(J)$ [/mm] beendet man das Argument.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Ringhomomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:33 Di 30.12.2014
Autor: YuSul

Ok,

bei II) müsste ich dann auch noch kurz begründen weshalb die Null in [mm] $\phi(I)$ [/mm] ist und das es auch bezüglich der Addition abgeschlossen ist. Was wieder Analog zur Multiplikation geht.

Eine Frage hätte ich noch zu der Umkehrfunktion [mm] $\phi^{-1}$. [/mm]
Woher weiß ich denn, dass ich diese einfach so anwenden darf?
Es könnte doch auch mehrere Urbilder geben, oder nicht?

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Ringhomomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:43 Mi 31.12.2014
Autor: UniversellesObjekt

Es gibt hier keine Umkehrfunktion! Man schreibt einfach nur [mm] $\phi^{-1}(J)=\{x\mid\phi (r)\in J\} [/mm] $. Beispiel: [mm] $\phi (\IR)\to\IR$, [/mm] $ [mm] x\mapsto x^2$ [/mm] ist weder injektiv noch surjektiv. [mm] $\phi^{-1}(\{-1,0,4\})=\{0,-2,2\} [/mm] $.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Ringhomomorphismus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:11 Mi 31.12.2014
Autor: YuSul

Ok, vielen Dank. Ich denke das ist mir nun klar.

Vielen Dank für die Hilfe.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de