Ringhomomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:01 Di 07.07.2009 | | Autor: | tux23 |
| Aufgabe | Sei A eine zyklische Gruppe der Ordnung n [mm] \in [/mm] N. So gibt
es genau einen Ringhomomorphismus von Z/nZ in den Endomorphismen-
ring End A der abelschen Gruppe A, und dieser Ringhomomorphismus ist
sogar ein Isomorphismus Z/nZ→ End A und induziert einen Isomorphismus zwischen der Einheitengruppe [mm] (Z/nZ)^{\times} [/mm] und der Automorphismengruppe von A.
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Ich würde bei dieser Aufgabe so vorgehen: Zuerst zeigen, dass ein Endomorphismenring ex. Dann zeigen, dass es einen Ringhomomorphismus [mm] \phi [/mm] gibt, dass heißt [mm] \phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b), \phi(ab)=\phi(a)\phi(b) [/mm] für a,b [mm] \in [/mm] Z/nZ. Dann zeigen, dass der Ringhomomorphis ein Isomorphismus ist und zu letzt zeigen, dass daraus folgt, dass es zwischen der Einheitengruppe [mm] (Z/nZ)^{\times} [/mm] und der Automorphismengruppe von A einen Isomorphismus gibt.
Meine Frage: Kann man mit diesem Weg zeigen dass die Behauptung stimmt und was soll eine Einheitengruppe sein?
Danke für Hinweise,
Gruß, Malte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 Di 07.07.2009 | | Autor: | tux23 |
Ok, das ein Endomorphismenring für die abelsche Gruppe A ex. kann man wohl voraussetzen, ich weiß zumind. nicht was da noch groß gezeigt werden soll...
Ich habe hier nun einen Lösungsvorschlag:
Sei A zyklische Gruppe [mm] \gdw [/mm] ( [mm] a\in [/mm] A [mm] \gdw :=\{g^n|n\in Z\}
[/mm]
Sei [mm] \phi(x):Z/nZ \to [/mm] (A [mm] \to [/mm] A), [mm] \phi(x)=x,
[/mm]
d.h:
[mm] <0>\to<0>
[/mm]
[mm] <1>\to
[/mm]
[mm] <2>\to
[/mm]
.
.
.
Daraus folgt, [mm] \phi [/mm] ist eine bijektive Abbildung. (**)Schließt man aus der Urbildmenge und der Bildmenge von [mm] \phi [/mm] das 0-Element aus, da für diese keine Inverses ex. erhält man einen Isomorphismus.
Da [mm] Einheitengruppe((Z/nZ)^{\times})\equiv(nZ/{0},\times) [/mm] und [mm] \rho: [/mm] A [mm] \to [/mm] A, nur dann ein Automorphismus, wenn [mm] \roh [/mm] Isomorph, man also wieder das 0-Element aus der Urbild- und der Bildmenge ausschließt, folgt mit (**) dass [mm] Einheitengruppe((Z/nZ)^{\times})\to\rho [/mm] wieder isomorph. q.e.d
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Di 07.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei A eine zyklische Gruppe der Ordnung n [mm]\in[/mm] N. So gibt
> es genau einen Ringhomomorphismus von Z/nZ in den
> Endomorphismen-
> ring End A der abelschen Gruppe A, und dieser
> Ringhomomorphismus ist
> sogar ein Isomorphismus Z/nZ→ End A und induziert einen
> Isomorphismus zwischen der Einheitengruppe [mm](Z/nZ)^{\times}[/mm]
> und der Automorphismengruppe von A.
>
> Ich würde bei dieser Aufgabe so vorgehen: Zuerst zeigen,
> dass ein Endomorphismenring ex.
Wie du schon selber bemerkt hast: das brauchst du nicht zu zeigen.
> Dann zeigen, dass es einen
> Ringhomomorphismus [mm]\phi[/mm] gibt, dass heißt
> [mm]\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b), \phi(ab)=\phi(a)\phi(b)[/mm] für a,b
> [mm]\in[/mm] Z/nZ.
Nun, das musst du schon, aber wie genau willst du das machen?
Ueberleg dir doch erstmal, wieviele Ringhomomorphismen [mm] $\IZ \to [/mm] End(A)$ es gibt. Dann nimm dir einen und zeig, dass $n [mm] \IZ$ [/mm] im Kern liegt, und wende den Homomorphiesatz an.
(Wenn du zeigst, dass der Kern gerade $n [mm] \IZ$ [/mm] ist, dann bekommst du die Injektivitaet geliefert.)
> Dann zeigen, dass der Ringhomomorphis ein Isomorphismus ist
Ja. Hierzu musst du benutzen (sowohl fuer Injektiv wie auch fuer Surjektiv), dass $A$ zyklisch ist. Was bedeutet dies fuer Endomoprhismen von $A$?
> und zu letzt zeigen, dass daraus folgt,
> dass es zwischen der Einheitengruppe [mm](Z/nZ)^{\times}[/mm] und
> der Automorphismengruppe von A einen Isomorphismus gibt.
Das ist eine ganz allgemeine Eigenschaft von Isomorphismen von Ringen, und dem Fakt dass die Einheiten aus $End(A)$ gerade die Automorphismen von $A$ sind.
> Meine Frage: Kann man mit diesem Weg zeigen dass die
> Behauptung stimmt und was soll eine Einheitengruppe sein?
Was eine Einheitengruppe ist solltest du schleunigst im Skript nachschauen, wenn dir das nichts sagt.
LG Felix
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