Ringhomomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 Do 02.12.2010 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Ist [mm] $\psi: [/mm] R -> S$ ein Ringhomomorphismus, I ein Ideal in R, J eines in S, dann ist [mm] $\psi^{-1}(J)$ [/mm] ein Ideal in R und falls [mm] $\psi$ [/mm] surjektiv ist, so auch [mm] $\psi(I)$ [/mm] eines in S. |
Es sei vorausgesetzt, dass [mm] $\psi^{-1}(I)\subset [/mm] R$ eine Untergruppe ist. Ist [mm] $J\in \psi^{-1}(I)$ [/mm] und [mm] $x\in [/mm] R$, dann folgt mit [mm] $\psi(i)\in [/mm] I$ die Gültigkeit von [mm] $\psi(xi)=\psi(x)\psi(i)\in [/mm] I$. und [mm] $\psi(ix)=\psi(i)\psi(x)\in [/mm] I,$ also [mm] $xi\in \psi^{-1}(I)$ [/mm] und $ix [mm] \in \psi^{-1}(I)$
[/mm]
Es sei wiederum vorausgestzt, dass [mm] $\psi(i)$ [/mm] UG ist.
[mm] $b\in \psi(i), y\in [/mm] S [mm] \Rightarrow \exists a\in [/mm] A, [mm] x\in [/mm] R: [mm] b=\psi(i), y=\psi(x) \Rightarrow yb=\psi(xi)\in \psi(i), by\in \psi(i)$ [/mm] q.e.d.
Ist das ok auf die Art?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Do 02.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ist [mm]\psi: R -> S[/mm] ein Ringhomomorphismus, I ein Ideal in R,
> J eines in S, dann ist [mm]\psi^{-1}(J)[/mm] ein Ideal in R und
> falls [mm]\psi[/mm] surjektiv ist, so auch [mm]\psi(I)[/mm] eines in S.
> Es sei vorausgesetzt, dass [mm]\psi^{-1}(I)\subset R[/mm] eine
> Untergruppe ist.
Das ist doch Blödsinn ! I ist doch Teilmenge von R , was soll dann $ [mm] \psi^{-1}(I) [/mm] $ sein ???
> Ist [mm]J\in \psi^{-1}(I)[/mm]
Das ist auch nur Käse !
jetzt habe ich keine Lust mehr zum weiterlesen
und [mm]x\in R[/mm], dann
> folgt mit [mm]\psi(i)\in I[/mm] die Gültigkeit von
> [mm]\psi(xi)=\psi(x)\psi(i)\in I[/mm]. und
> [mm]\psi(ix)=\psi(i)\psi(x)\in I,[/mm] also [mm]xi\in \psi^{-1}(I)[/mm] und
> [mm]ix \in \psi^{-1}(I)[/mm]
>
> Es sei wiederum vorausgestzt, dass [mm]\psi(i)[/mm] UG ist.
> [mm]b\in \psi(i), y\in S \Rightarrow \exists a\in A, x\in R: b=\psi(i), y=\psi(x) \Rightarrow yb=\psi(xi)\in \psi(i), by\in \psi(i)[/mm]
> q.e.d.
>
> Ist das ok auf die Art?
ganz und gar nicht. Obiges ist wirr und konfus und hat mit Mathematik so wenig am Hut , wie ich mit Roberto Blanco
FRED
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