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| Aufgabe | (a)
Sei K ein beliebiger Körper. Zeigen Sie, dass Die Abbildung
f: [mm] \IZ \to [/mm] K
f(n) = [mm] \underbrace{1+...+1}_{n-mal} [/mm] , falls n > 0
f(n) = [mm] \underbrace{(-1)+...+(-1)}_{(-n)-mal} [/mm] , falls n < 0
f(n) = 0 , falls n = 0
ein Ringhomomorphismus ist. Zeigen Sie darüberhinaus, dass f der einzige Ringhomomorphismus [mm] \IZ \to [/mm] K ist. Es hat sich etabliert, einfach nur n anstatt f(n) zu schreiben. Das n steht hier also als Symbol für das Element f(n).
(b)
Eine Identifizierung des Elementes f(n) mit der ganzen Zahl n kann nur erfolgen, wenn f injektiv ist. Ist dies nicht der Fall, so kann f(n) auch durch verschiedene solcher Symbole dargestellt werden. Untersuchen sie, ob der Ringhomomorphismus f
(i) injektiv aber nicht surjektiv,
(ii) surjektiv aber nicht injektiv,
(iii) injektiv und surjektiv,
(iv) weder injektiv noch surjektiv
sein kann. Geben sie jeweils ein Beispiel an bzw. erläutern Sie, warum dies nicht der Fall sein kann. |
Hallo,
den Aufgabenteil (a) habe ich soweit gemacht. Für Aufgabenteil (b) habe ich zu (i) das Beispiel, dass K = [mm] \IR [/mm] oder K = [mm] \IQ [/mm] gilt.
(iii) habe ich so zu einem Widerspruch geführt:
Wenn f surjektiv ist, ex. zu (1+1)^(-1) ein n, sodass f(n) = (1+1)^(-1) ist. demnach ist [mm] \underbrace{1+...+1}_{n-mal} [/mm] = (1+1)^(-1) bzw. [mm] \underbrace{(-1)+...+(-1)}_{(-n)-mal} [/mm] = (1+1)^(-1).
Wegen (1+1)*(1+1)^(-1) = 1 ist also (1+1)*f(n) = 1 . Mit dem Distributivgesetz ist also f(n) + f(n) = 1. Da f ein Ringhomomorphismus ist folgt: f(n+n) = 1 [mm] \gdw [/mm] f(2n) = 1 = f(1).
Damit kann f nicht mehr injektiv sein, da 2n = 1 für n [mm] \in \IZ [/mm] keine Lösung hat.
Ist das soweit in ordnung?
Bei der (ii) und (iv) komme ich nicht weiter. Ich kann bei beiden Teile lediglich folgern, dass aus der nicht injektivität die Existenz von
[mm] \underbrace{1+...+1}_{n-mal} [/mm] = 0 , bzw
[mm] \underbrace{(-1)+...+(-1)}_{(-n)-mal} [/mm] = 0
für ein n folgt.
Wie kann ich weiter vorgehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:28 Di 17.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Stephan123,
> (b)
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> Eine Identifizierung des Elementes f(n) mit der ganzen Zahl
> n kann nur erfolgen, wenn f injektiv ist. Ist dies nicht
> der Fall, so kann f(n) auch durch verschiedene solcher
> Symbole dargestellt werden. Untersuchen sie, ob der
> Ringhomomorphismus f
> (i) injektiv aber nicht surjektiv,
> (ii) surjektiv aber nicht injektiv,
> (iii) injektiv und surjektiv,
> (iv) weder injektiv noch surjektiv
> sein kann. Geben sie jeweils ein Beispiel an bzw.
> erläutern Sie, warum dies nicht der Fall sein kann.
> Für
> Aufgabenteil (b) habe ich zu (i) das Beispiel, dass K = [mm]\IR[/mm]
> oder K = [mm]\IQ[/mm] gilt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (iii) habe ich so zu einem Widerspruch geführt:
> Wenn f surjektiv ist, ex. zu (1+1)^(-1)
Warum kannst du in $K$ überhaupt [mm] $(1+1)^{-1}$ [/mm] bilden? Also warum ist [mm] $1+1\not=0$ [/mm] in $K$? Hier benötigst du schon die widerspruchshalber angenommene Injektivität von $f$.
> ein n, sodass f(n)
> = (1+1)^(-1) ist.
> demnach ist [mm]\underbrace{1+...+1}_{n-mal}[/mm]
> = (1+1)^(-1) bzw. [mm]\underbrace{(-1)+...+(-1)}_{(-n)-mal}[/mm] =
> (1+1)^(-1).
Ja, da [mm] $f(n)=(1+1)^{-1}\not=0$ [/mm] in $K$. Das brauchst du im Folgenden aber gar nicht.
> Wegen (1+1)*(1+1)^(-1) = 1 ist also (1+1)*f(n) = 1 . Mit
> dem Distributivgesetz ist also f(n) + f(n) = 1. Da f ein
> Ringhomomorphismus ist folgt: f(n+n) = 1 [mm]\gdw[/mm] f(2n) = 1 =
> f(1).
> Damit kann f nicht mehr injektiv sein, da 2n = 1 für n
> [mm]\in \IZ[/mm] keine Lösung hat.
> Bei der (ii) und (iv) komme ich nicht weiter. Ich kann bei
> beiden Teile lediglich folgern, dass aus der nicht
> injektivität die Existenz von
> [mm]\underbrace{1+...+1}_{n-mal}[/mm] = 0 , bzw
> [mm]\underbrace{(-1)+...+(-1)}_{(-n)-mal}[/mm] = 0
> für ein n folgt.
> Wie kann ich weiter vorgehen?
Welche Körper kennst du außer [mm] $\IQ$, $\IR$ [/mm] und [mm] $\IC$? [/mm] Denke mal an endliche Körper.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo,
erstmal danke für die Antwort.
Stimmt, es muss natürlich 1+1 [mm] \not= [/mm] 0 gelten, was dank der Injektivität aber gilt.
Für (ii) müssten dann die Körper [mm] (\IZ [/mm] \ m [mm] \IZ [/mm] , + , . ) mit m als Primzahl gehen.
Bei (iv) weiß ich leider immer noch nicht weiter.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Di 17.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Für (ii) müssten dann die Körper [mm](\IZ[/mm] \ m [mm]\IZ[/mm] , + , . )
> mit m als Primzahl gehen.
> Bei (iv) weiß ich leider immer noch nicht weiter.
Hier ist das wohl einfachste Beispiel ein Körper mit vier Elementen.
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Hallo,
Ich habe mir folgendes überlegt:
K = {0,1,a,b}
Wobei die 0 und 1 genauso "funktionieren" sollen wie bei [mm] \IZ [/mm] \ [mm] 2\IZ [/mm] . Damit wäre die Abbildung f nicht injektiv, genau wie bei [mm] \IZ [/mm] \ [mm] 2\IZ [/mm] , aber auch nicht surjektiv, da auf a und b nicht abgebildet wird. Nur weiß ich nicht genau wie ich die Additionsvorschrift und die Multiplikationsvorschrift für a und b wählen soll, damit das ganze noch ein Körper ist.
a+b = 0 und a*b = 1 habe ich mir überlegt. Leider weiß ich nicht wie ich die anderen Verknüpfungen (a+a, a*a usw.) definieren soll, da folgt immer ein Widerspruch.
Ist das denn so der richtige Ansatz oder brauche ich einen ganz anderen Körper?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Di 17.09.2013 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
>
> Ich habe mir folgendes überlegt:
>
> K = {0,1,a,b}
> Wobei die 0 und 1 genauso "funktionieren" sollen wie bei
> [mm]\IZ[/mm] \ [mm]2\IZ[/mm] . Damit wäre die Abbildung f nicht injektiv,
> genau wie bei [mm]\IZ[/mm] \ [mm]2\IZ[/mm] , aber auch nicht surjektiv, da
> auf a und b nicht abgebildet wird. Nur weiß ich nicht
> genau wie ich die Additionsvorschrift und die
> Multiplikationsvorschrift für a und b wählen soll, damit
> das ganze noch ein Körper ist.
> a+b = 0 und a*b = 1 habe ich mir überlegt. Leider weiß
> ich nicht wie ich die anderen Verknüpfungen (a+a, a*a
> usw.) definieren soll, da folgt immer ein Widerspruch.
> Ist das denn so der richtige Ansatz oder brauche ich einen
> ganz anderen Körper?
Der Ansatz ist gut, aber das Problem duerfte vom $a+b= 0$ herruehren: du hast ja $1+1= 0$ und damit $a+a= (1+1)a= 0$. Dann kann nicht auch $a+b= 0$ sein (es sein denn $a= b$, aber dann bist Du wieder im Fall [mm] $\IZ_{3}$). [/mm] Versuche es also mit $a+a= b+b= 0$ und $ab= 1$ (fuer das Produkt bleibt ja keine andere Wahl).
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Hallo,
Ich habe nun folgendes gemacht:
K={0,1,a,b}
a+a = 0
b+b = 0
a*b = 1
a+1 = b
b+1 = a
a+b = 1
a*a = b
b*b = a
Damit sind alle Verknüpfungen definiert. So sollte es funktionieren oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Do 19.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Ich habe nun folgendes gemacht:
>
> K={0,1,a,b}
>
> a+a = 0
> b+b = 0
> a*b = 1
>
> a+1 = b
> b+1 = a
> a+b = 1
>
> a*a = b
> b*b = a
>
> Damit sind alle Verknüpfungen definiert. So sollte es
> funktionieren oder?
Genau!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:45 Do 19.09.2013 | | Autor: | Stephan123 |
Super, danke :)
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