www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Ringisomorphismus, endl.Körper
Ringisomorphismus, endl.Körper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Ringisomorphismus, endl.Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:30 Sa 08.10.2016
Autor: impliziteFunktion

Aufgabe
Es sei $p$ eine Primzahl und betrachte den Ringisomorphismus

[mm] $\tau:\mathbb{F}_p[X]\to\mathbb{F}_p[X] [/mm]

gegeben durch [mm] $\tau(X)=X+1$. [/mm] Wir setzen [mm] $g:=X^p-X-1\in\mathbb{F}_p[X]$ [/mm]

a) Man zeige, dass [mm] $\tau^p(f)=f$ [/mm] gilt für alle [mm] $f\in\mathbb{F}_p[X]$. [/mm]

b) Man zeige, dass $g$ von [mm] $\tau$ [/mm] fixiert wird, d.h. [mm] $\tau(g)=g$. [/mm]

c) Man zeige, dass [mm] $\tau(h)\neq [/mm] h$ gilt für alle [mm] $h\in\mathbb{F}_p[X]$ [/mm] mit $deg(h)<p$.

d) Man zeige, dass [mm] $g\in\mathbb{F}_p[X]$ [/mm] irreduzibel ist.

Hallo,

ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe. Insbesondere zum Aufgabenteil c).

zu a):

Sei [mm] $f\in\mathbb{F}_p[X]$ [/mm] beliebig, dann ist

[mm] $f=\sum_{i=0}^n a_iX^i$, [/mm] da [mm] $\tau$ [/mm] ein Ringhomomorphismus ist, gilt

[mm] $\tau^p(f)=\sum_{i=0}^n a_i\tau^p(X)^i=\sum_{i=0}^n a_i(X+p)^i [/mm]

Wegen p=0 in [mm] $\mathbb{F}_p$ [/mm] also

[mm] $\sum_{i=0}^n a_iX^i=f$ [/mm]

zu b):

[mm] $\tau(X^p-X-1)=\tau(X)^p-\tau(X)-1=(X+1)^p-(X+1)-1=X^p+1-X-1-1=X^p-X-1=g$ [/mm]

zu c):

Jeder meiner Ansätze hat soweit nicht funktioniert. Ich habe versucht allgemein [mm] $h=\sum_{i=0}^{p-1} a_i X^i$ [/mm] zu betrachten, und dann einfach "ausrechnen", womit ich nicht weiter kam.

Auch ein Ansatz mittels Widerspruch und Verwendung von Eigenschaft a), hat kein Ergebnis gebracht.
Habt ihr eine bessere Idee, oder einen Tipp?

zu d):

Angenommen [mm] $g\in F_p[X]$ [/mm] ist reduzibel. Dann ist $g=fh$, mit [mm] $f,h\in\mathbb{F}_p[X]$ [/mm] und $deg(f)<p$, sowie $deg(h)<p$.

Nach Eigenschaft b), gilt

[mm] $\tau(g)=\tau(fh)=\tau(f)\tau(h)=g$ [/mm]

Wegen Eigenschaft c), ist [mm] $\tau(f)\neq [/mm] f$ und [mm] $\tau(h)\neq [/mm] h$.
Da aber [mm] \tau(f)\tau(h)=g, [/mm] muss [mm] $\tau(f)=h$ [/mm] und [mm] $\tau(h)=f$. [/mm]
Dann ist [mm] $\deg(f)=\deg(h)=a$ [/mm] und [mm] $p=\deg(g)=\deg(f)+\deg(h)=2a$. [/mm]

Wegen p prim, ist a=1, also $p=2$.

Dann ist [mm] $g=X^2-X-1\in\mathbb{F}_2[X]$. [/mm]
Aber $g$ hat keine Nullstellen in [mm] $\mathbb{F}_2$, [/mm] im Widerspruch zur Annahme, dass $g$ reduzibel ist.


Sind a), b) und d) so in Ordnung?
Habt ihr einen Tipp zu Aufgabenteil c)?

Vielen Dank im voraus.

        
Bezug
Ringisomorphismus, endl.Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 Sa 08.10.2016
Autor: hippias


> Es sei [mm]p[/mm] eine Primzahl und betrachte den Ringisomorphismus
>  
> [mm]$\tau:\mathbb{F}_p[X]\to\mathbb{F}_p[X][/mm]
>  
> gegeben durch [mm]\tau(X)=X+1[/mm]. Wir setzen
> [mm]g:=X^p-X-1\in\mathbb{F}_p[X][/mm]
>  
> a) Man zeige, dass [mm]\tau^p(f)=f[/mm] gilt für alle
> [mm]f\in\mathbb{F}_p[X][/mm].
>  
> b) Man zeige, dass [mm]g[/mm] von [mm]\tau[/mm] fixiert wird, d.h.
> [mm]\tau(g)=g[/mm].
>  
> c) Man zeige, dass [mm]\tau(h)\neq h[/mm] gilt für alle
> [mm]h\in\mathbb{F}_p[X][/mm] mit [mm]deg(h)
>  
> d) Man zeige, dass [mm]g\in\mathbb{F}_p[X][/mm] irreduzibel ist.
>  Hallo,
>  
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe. Insbesondere zum
> Aufgabenteil c).
>  
> zu a):
>  
> Sei [mm]f\in\mathbb{F}_p[X][/mm] beliebig, dann ist
>
> [mm]f=\sum_{i=0}^n a_iX^i[/mm], da [mm]\tau[/mm] ein Ringhomomorphismus ist,
> gilt
>  
> [mm]$\tau^p(f)=\sum_{i=0}^n a_i\tau^p(X)^i=\sum_{i=0}^n a_i(X+p)^i[/mm]
>  
> Wegen p=0 in [mm]\mathbb{F}_p[/mm] also
>  
> [mm]\sum_{i=0}^n a_iX^i=f[/mm]

O.K.

>  
> zu b):
>  
> [mm]\tau(X^p-X-1)=\tau(X)^p-\tau(X)-1=(X+1)^p-(X+1)-1=X^p+1-X-1-1=X^p-X-1=g[/mm]
>  

O.K.

> zu c):
>  
> Jeder meiner Ansätze hat soweit nicht funktioniert. Ich
> habe versucht allgemein [mm]h=\sum_{i=0}^{p-1} a_i X^i[/mm] zu
> betrachten, und dann einfach "ausrechnen", womit ich nicht
> weiter kam.
>  
> Auch ein Ansatz mittels Widerspruch und Verwendung von
> Eigenschaft a), hat kein Ergebnis gebracht.
>  Habt ihr eine bessere Idee, oder einen Tipp?

Überlege Dir, dass $f$ eine konstante Funktion auf den Körper induziert, wenn $f$ unter [mm] $\tau$ [/mm] invariant ist;  im übrigen zeigt diese Überlegung auch, dass die Behauptung wie angegeben nicht richtig ist, denn die Polynome vom Grad $=0$ sind Fixpunkte von [mm] $\tau$. [/mm]

>  
> zu d):
>  
> Angenommen [mm]g\in F_p[X][/mm] ist reduzibel. Dann ist [mm]g=fh[/mm], mit
> [mm]f,h\in\mathbb{F}_p[X][/mm] und [mm]deg(f)
>  
> Nach Eigenschaft b), gilt
>
> [mm]\tau(g)=\tau(fh)=\tau(f)\tau(h)=g[/mm]
>  
> Wegen Eigenschaft c), ist [mm]\tau(f)\neq f[/mm] und [mm]\tau(h)\neq h[/mm].
>  
> Da aber [mm]\tau(f)\tau(h)=g,[/mm] muss [mm]\tau(f)=h[/mm] und [mm]\tau(h)=f[/mm].

Dieser Schluss voreilig, denn $g$ könnte sich auf viele Arten faktorisieren lassen. Da müssen die Faktoren schon  mit etwas mehr Fingespitzengefühl gewählt werden.


>  Dann ist [mm]\deg(f)=\deg(h)=a[/mm] und
> [mm]p=\deg(g)=\deg(f)+\deg(h)=2a[/mm].
>  
> Wegen p prim, ist a=1, also [mm]p=2[/mm].
>  
> Dann ist [mm]g=X^2-X-1\in\mathbb{F}_2[X][/mm].
>  Aber [mm]g[/mm] hat keine Nullstellen in [mm]\mathbb{F}_2[/mm], im
> Widerspruch zur Annahme, dass [mm]g[/mm] reduzibel ist.
>  
>
> Sind a), b) und d) so in Ordnung?
>  Habt ihr einen Tipp zu Aufgabenteil c)?
>  
> Vielen Dank im voraus.


Bezug
                
Bezug
Ringisomorphismus, endl.Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:17 Sa 08.10.2016
Autor: impliziteFunktion


> Dieser Schluss voreilig, denn g könnte sich auf viele Arten faktorisieren lassen. Da müssen die Faktoren schon  mit etwas mehr Fingespitzengefühl gewählt werden.

$g=fh$, wobei $deg(f)<p$ maximal sein soll. Dadurch ist $f$ eindeutig bestimmt. Denn wenn es weitere Polynome mit gleichen Grad gibt, könnte man sie einfach miteinander multiplizieren und erhält so das Polynom mit maximalen Grad.
Wegen [mm] $deg(f)=deg(\tau(f))$ [/mm] und [mm] $\tau(f)\neq [/mm] f$ gibt es einen Widerspruch zur Eindeutigkeit.

> Überlege Dir, dass f eine konstante Funktion auf den Körper induziert, wenn f unter $ [mm] \tau [/mm] $ invariant ist

Ich soll also überlegen, wass passiert, wenn [mm] $\tau(f)=f$ [/mm] gilt.

Mit [mm] $f=\sum_{i=0}^{p-1}a_iX^i$ [/mm] und

[mm] \tau(f)=f, [/mm] also

[mm] $\sum_{i=0}^{p-1}a_iX^i=\sum_{i=0}^{p-1}a_i\tau(X)^i$, [/mm] womit

[mm] $\sum_{i=0}^{p-1}a_i(X^i-\tau(X)^i)=0$ [/mm]

[mm] $\sum_{i=0}^{p-1}a_i(X^i-(X+1)^i)=0$ [/mm]

Wenn [mm] $a_j=0$ [/mm] für alle [mm] $j\geq [/mm] 0$ ist die Aussage auf jeden Fall erfüllt.
Ebenso wenn [mm] $a_j=0$ [/mm] für alle $j>0$. Dann ist $f$ konstant.

Wenn man ansonsten die Indexmenge $I$ aller Indizes [mm] $\{0,\dotso, p-1\}$ [/mm] ansieht, für die [mm] $a_j\neq [/mm] 0$, so kann man sich den größten solchen Index auswählen.
Dieser Summand würde sich jedoch nicht mit den restlichen "annulieren", weshalb die Summe dann nicht Null wäre.

Das konnte ich bisher aber nicht zeigen.

Bezug
                        
Bezug
Ringisomorphismus, endl.Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:05 So 09.10.2016
Autor: hippias


> > Dieser Schluss voreilig, denn g könnte sich auf viele
> Arten faktorisieren lassen. Da müssen die Faktoren schon  
> mit etwas mehr Fingespitzengefühl gewählt werden.
>
> [mm]g=fh[/mm], wobei [mm]deg(f)
> eindeutig bestimmt. Denn wenn es weitere Polynome mit
> gleichen Grad gibt, könnte man sie einfach miteinander
> multiplizieren und erhält so das Polynom mit maximalen
> Grad.

Das sehe ich nicht. Sei $n= [mm] \max\{\deg(f)|f|g, \deg(f)<\deg(g)\}$. [/mm] Wenn $a,b$ echte Teiler von $g$ sind mit [mm] $\deg(a)= \deg(b)= [/mm] n$, so ist zwar [mm] $\deg(ab)>n$, [/mm] aber $ab$ muss kein Teiler von $g$ sein.

>  Wegen [mm]deg(f)=deg(\tau(f))[/mm] und [mm]\tau(f)\neq f[/mm] gibt es einen
> Widerspruch zur Eindeutigkeit.
>  
> > Überlege Dir, dass f eine konstante Funktion auf den
> Körper induziert, wenn f unter [mm]\tau[/mm] invariant ist
>  
> Ich soll also überlegen, wass passiert, wenn [mm]\tau(f)=f[/mm]
> gilt.
>  
> Mit [mm]f=\sum_{i=0}^{p-1}a_iX^i[/mm] und
>
> [mm]\tau(f)=f,[/mm] also
>  
> [mm]\sum_{i=0}^{p-1}a_iX^i=\sum_{i=0}^{p-1}a_i\tau(X)^i[/mm], womit
>  
> [mm]\sum_{i=0}^{p-1}a_i(X^i-\tau(X)^i)=0[/mm]
>  
> [mm]\sum_{i=0}^{p-1}a_i(X^i-(X+1)^i)=0[/mm]
>  
> Wenn [mm]a_j=0[/mm] für alle [mm]j\geq 0[/mm] ist die Aussage auf jeden Fall
> erfüllt.
>  Ebenso wenn [mm]a_j=0[/mm] für alle [mm]j>0[/mm]. Dann ist [mm]f[/mm] konstant.
>  
> Wenn man ansonsten die Indexmenge [mm]I[/mm] aller Indizes
> [mm]\{0,\dotso, p-1\}[/mm] ansieht, für die [mm]a_j\neq 0[/mm], so kann man
> sich den größten solchen Index auswählen.
>  Dieser Summand würde sich jedoch nicht mit den restlichen
> "annulieren", weshalb die Summe dann nicht Null wäre.
>  
> Das konnte ich bisher aber nicht zeigen.

Und das ist natürlich der interessante Fall. Du hast wieder versäumt im obigen Term die Klammer aufzulösen. Sonst überlege Dir, wie ganz allgemein die von [mm] $\tau(f)$ [/mm] auf $K$ induzierten Funktion mit der von $f$ auf $K$ induzierten Funktion zusammenhängt.

Bezug
                                
Bezug
Ringisomorphismus, endl.Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:33 So 09.10.2016
Autor: impliziteFunktion


> Wenn $ a,b $ echte Teiler von $ g $ sind mit $ [mm] \deg(a)= \deg(b)= [/mm] n $, so ist zwar $ [mm] \deg(ab)>n [/mm] $, aber $ ab $ muss kein Teiler von $ g $ sein.

Ich sehe nur triviale Gegenbeispiele, wo das gebildete Produkt nicht mehr in der eindeutigen Primfaktorzerlegung des Polynoms $g$ liegt.

Etwa wenn $f=ab$ ist, und $a,b$ sind irreduzibel. Mit [mm] $deg(a)\geq [/mm] deg(b)$.
Dann könnte man [mm] $deg(a^2)$ [/mm] bilden, was kein Teiler mehr wäre.

Unter strengeren Voraussetzungen müsste es doch gelten, also wenn man solche Fälle ausschließt.

> Du hast wieder versäumt im obigen Term die Klammer aufzulösen. Sonst überlege Dir, wie ganz allgemein die von $ [mm] \tau(f) [/mm] $ auf $ K $ induzierten Funktion mit der von $ f $ auf $ K $ induzierten Funktion zusammenhängt.

Ich habe das getan, dann annuliert sich das [mm] $X^i$, [/mm] aber ich habe nicht gesehen in wie weit es mir das für die Rechnung hilft.

Bezug
                                        
Bezug
Ringisomorphismus, endl.Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:36 Di 11.10.2016
Autor: UniversellesObjekt

Welche Fragen sind hier noch offen?

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                                        
Bezug
Ringisomorphismus, endl.Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:56 Di 11.10.2016
Autor: UniversellesObjekt

Ich geb vielleicht nochmal etwas input. a) und b) scheinen ja gelöst zu sein. c) Wie hippias gesagt hat, folgt aus [mm] $\tau(f)=f$, [/mm] dass $f$ die konstante Funktion definiert. Um das einzusehen, setze in die Gleichung $f(X)=f(X+1)$ einfach mal $X=0$ ein. Und dann vielleicht noch $X=1$. Und $X=2$. Um nun einzusehen, dass Polynome vom Grad $<p$ nur dann konstante Funktionen definieren können, wenn sie selbst konstant sind, denke mal an die Eindeutigkeit des Interpolationspolynoms.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de