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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Fr 01.07.2011 | | Autor: | DerSpunk |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Normalisierung des Ringes (k Körper) [mm]R:=k[Z_1,Z_2]/(Z_1^2-Z_2^2(Z_2+1))[/mm] zu [mm]k[T][/mm] isomorph ist. |
Hallo zusammen,
im Wesentlichen ist mir klar was zu tun ist. Als erstes ist die Normalisierung [mm]\tilde R[/mm] von [mm]R[/mm] zu bestimmen und anschließend Noethernormalisierung auf [mm]\tilde R[/mm] anzuwenden.
Der erste Schritt bereitet mir allerdings Kopfzerbrechen. Ich habe keine Idee wie ich eine explizite Darstellung von [mm]\tilde R[/mm] erhalte.
Beste Grüße
Der Spunk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Fr 01.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Spunk!
> Zeigen Sie, dass die Normalisierung des Ringes (k Körper)
> [mm]R:=k[Z_1,Z_2]/(Z_1^2-Z_2^2(Z_2+1))[/mm] zu [mm]k[T][/mm] isomorph ist.
>
> im Wesentlichen ist mir klar was zu tun ist. Als erstes ist
> die Normalisierung [mm]\tilde R[/mm] von [mm]R[/mm] zu bestimmen und
> anschließend Noethernormalisierung auf [mm]\tilde R[/mm]
> anzuwenden.
>
> Der erste Schritt bereitet mir allerdings Kopfzerbrechen.
> Ich habe keine Idee wie ich eine explizite Darstellung von
> [mm]\tilde R[/mm] erhalte.
Die Aufgabenstellung enthaelt einen hilfreichen Hinweis: sie besagt, dass [mm] $\tilde [/mm] R$ von der Form $k[T]$ ist fuer ein $T [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus [/mm] k$. Weiterhin ist $k[T]$ normal, es reicht also aus ein $T [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus [/mm] k$ zu finden mit:
a) [mm] $Z_1, Z_2 \in [/mm] k[T]$ (damit meine ich: die Restklassen von [mm] $Z_1$ [/mm] und [mm] $Z_2$ [/mm] sind in $k[T]$);
b) $T$ ist ganz ueber $R$.
Daraus folgt, dass $k[T]$ eine ganze Erweiterung von $R$ ist, und da $k[T]$ ganzabgeschlossen ist muss [mm] $\tilde{R} [/mm] = k[T]$ sein.
Die Frage ist also: wie findet man so ein $T$?
In diesem Fall kann man $T$ ganz einfach waehlen. Probier mal $T = [mm] Z_1^a Z_2^b$ [/mm] mit $a, b [mm] \in \IZ$ [/mm] (wobei $a$ und $b$ betragsmaessig recht klein sein sollten).
LG Felix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:33 Sa 02.07.2011 | | Autor: | DerSpunk |
Danke für den Tipp!
Mit [mm]T=Z_1/Z_2[/mm] habe ich, wegen [mm]Z_2=T^2-1\in k[T][/mm], [mm]Z_1=TZ_2=T(T^2-1)\in k[T][/mm] und [mm]T^2-(Z_2+1)=0[/mm], ein solches Element gefunden.
Allerdings sehe ich nicht, wie ich aus a) und b) folgern kann, dass [mm]k[T][/mm] eine ganze Ringerweiterung ist (das es eine Ringerweiterung ist, ist klar). Außerdem will mir nicht einleuchten, dass eine ganzabgeschlossene Ringerweiterung bereits der ganze Abschluss sein muss (klingt zwar tautologisch aber ich sehe es einfach nicht).
Klar ist mir, dass mit einer ganzen Ringerweiterung [mm]A\subset B[/mm], wobei [mm]B[/mm] normal ist, folgt [mm]\tilde A\subset \tilde B=B[/mm]. Aber wieso kann [mm]B[/mm] keine echte Obermenge von [mm]\tilde A[/mm] sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:50 Sa 02.07.2011 | | Autor: | DerSpunk |
Die zweite Frage hat sich erledigt. Ich habe übersehen, dass in meinem Fall [mm]k[T]\subset Quot(R)[/mm] ist und somit ganz offensichtlich [mm]\tilde R\subset \tilde k[T]=k[T]\subset \tilde R[/mm] gilt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 Sa 02.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Mit [mm]T=Z_1/Z_2[/mm] habe ich, wegen [mm]Z_2=T^2-1\in k[T][/mm],
> [mm]Z_1=TZ_2=T(T^2-1)\in k[T][/mm] und [mm]T^2-(Z_2+1)=0[/mm], ein solches
> Element gefunden.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die zweite Frage hat sich erledigt. Ich habe übersehen, dass in meinem Fall
> $ [mm] k[T]\subset [/mm] Quot(R) $ ist und somit ganz offensichtlich $ [mm] \tilde R\subset \tilde k[T]=k[T]\subset \tilde [/mm] R $
> gilt.
Sorry, das haette ich auch etwas genauer schreiben koennen :)
Aber gut dass sich das geklaert hat.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Sa 02.07.2011 | | Autor: | DerSpunk |
Noch nicht ganz. Unklar ist mir noch, wie aus a), b) folgt, dass [mm]k[T][/mm] ganz über [mm]R[/mm] ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Sa 02.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Noch nicht ganz. Unklar ist mir noch, wie aus a), b) folgt,
> dass [mm]k[T][/mm] ganz über [mm]R[/mm] ist.
Da $T$ ganz ueber $R$ ist (ein passendes Polynom hast du ja schon gefunden), ist $R[T]$ eine ganze Erweiterung von $R$. Jetzt ist aber $R[T] = k[T]$, womit also auch $k[T]$ ganz ueber $R$ ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:43 Sa 02.07.2011 | | Autor: | DerSpunk |
Na klar! Manchmal übersieht man das Offensichtliche ;) Dank dir.
Beste Grüße
Der Spunk
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