Robin Randbedingung < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:22 Fr 18.09.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
ich habe eine partielle DGL 2-ter Ordung vorliegen (Wie diese genau aussieht sollte für meine Fragen hoffentlich keine Rolle spielen). Gesucht wird hierbei eine Funktion
[mm] $u:\IR^2\supset\Omega\rightarrow\IR^{m}$
[/mm]
wobei [mm] $\Omega$ [/mm] ein zweidimensionales Gebiet (mit glattem Rand oder so) bezeichne und [mm] $m\in\IN$ [/mm] sei. Ich möchte jetzt für dieses System eine allgemeine Robin Randbedingung formulieren (d.h. eine Kombination von Dirichlet- und Neumannrandbedingungen): Für Funktionen [mm] $\alpha,\beta,g:\IR^2\supset\partial\Omega\rightarrow$(?) [/mm] sieht diese wie folgt aus:
[mm] $\alpha(x)\cdot u(x)+\beta(x)\cdot\frac{\partial u}{\partial\textbf{n}}(x)=g(x)\quad\forall\,x\in\partial\Omega$
[/mm]
1. Frage: Wie lauten die Bildbereiche von [mm] $\alpha,\beta,g$, [/mm] wenn $u$ der obigen Abbildung entspricht? Offenbar sind [mm] $u(x),\frac{\partial u}{\partial\textbf{n}}(x)\in\IR^{m}$. [/mm] Ist nun [mm] $\alpha(x),\beta(x)\in\IR^{m\times m}$ [/mm] und [mm] $g(x)\in\IR^{m}$? [/mm] Oder ist [mm] $\alpha(x),\beta(x)\in\IR^{2m\times m}$ [/mm] und [mm] $g(x)\in\IR^{2m}$? [/mm] Oder anders formuliert: Benötige ich jeweils $m$-Freiheitsgrade für die Dirichlet-Randbedingung und zusätzliche $m$-Freiheitsgrade für die Neumann-Randbedingung (also insgesamt $2m$-Bedingungen) oder benötige ich (da beide Randbedingungen in einer Gleichung stehe) insgemsamt lediglich $m$-Gleichungen?
2. Frage: Bei gewöhnlichen DGL'en (z.B. 2.-Ordung) können wir bekanntlich die Ordung reduzieren und eine DGL 2.-Ordung zu einem System 1. Ordung transformieren (das aus zwei Gleichungen besteht). Gibt es hierfür eine analoge Vorgehensweise für partielle DGL's?
Vielen Dank vorab schon einmal für die Unterstützung.
Gruß Denny
|
|
| |
|
Hi Denny,
> Hallo an alle,
>
> ich habe eine partielle DGL 2-ter Ordung vorliegen (Wie
> diese genau aussieht sollte für meine Fragen hoffentlich
> keine Rolle spielen). Gesucht wird hierbei eine Funktion
>
> [mm]u:\IR^2\supset\Omega\rightarrow\IR^{m}[/mm]
>
> wobei [mm]\Omega[/mm] ein zweidimensionales Gebiet (mit glattem Rand
> oder so) bezeichne und [mm]m\in\IN[/mm] sei. Ich möchte jetzt für
> dieses System eine allgemeine Robin Randbedingung
> formulieren (d.h. eine Kombination von Dirichlet- und
> Neumannrandbedingungen): Für Funktionen
> [mm]\alpha,\beta,g:\IR^2\supset\partial\Omega\rightarrow[/mm](?)
> sieht diese wie folgt aus:
>
> [mm]\alpha(x)\cdot u(x)+\beta(x)\cdot\frac{\partial u}{\partial\textbf{n}}(x)=g(x)\quad\forall\,x\in\partial\Omega[/mm]
>
> 1. Frage: Wie lauten die Bildbereiche von [mm]\alpha,\beta,g[/mm],
> wenn [mm]u[/mm] der obigen Abbildung entspricht? Offenbar sind
> [mm]u(x),\frac{\partial u}{\partial\textbf{n}}(x)\in\IR^{m}[/mm].
> Ist nun [mm]\alpha(x),\beta(x)\in\IR^{m\times m}[/mm] und
> [mm]g(x)\in\IR^{m}[/mm]? Oder ist [mm]\alpha(x),\beta(x)\in\IR^{2m\times m}[/mm]
> und [mm]g(x)\in\IR^{2m}[/mm]? Oder anders formuliert: Benötige ich
> jeweils [mm]m[/mm]-Freiheitsgrade für die Dirichlet-Randbedingung
> und zusätzliche [mm]m[/mm]-Freiheitsgrade für die
> Neumann-Randbedingung (also insgesamt [mm]2m[/mm]-Bedingungen) oder
> benötige ich (da beide Randbedingungen in einer Gleichung
> stehe) insgemsamt lediglich [mm]m[/mm]-Gleichungen?
Hm, wie ist es denn bei reinen dirichlet- oder v. neumann-bedingungen fuer systeme von pde's? Die Robin - bedg. macht da keinen grossen unterschied. Mein gesunder 'pde'-verstand wuerde sagen, dass die koeffizienten-funktionen quadratische matrizen sind, aber meine hand ins feuer legen wuerde ich dafuer nicht.
> 2. Frage: Bei gewöhnlichen DGL'en (z.B. 2.-Ordung) können
> wir bekanntlich die Ordung reduzieren und eine DGL
> 2.-Ordung zu einem System 1. Ordung transformieren (das aus
> zwei Gleichungen besteht). Gibt es hierfür eine analoge
> Vorgehensweise für partielle DGL's?
Gute Frage. Theoretisch muesste es gehen, dass man fuer jede partielle ableitung eine hilfsfunktion einfuehrt. Ich denke jedoch, dass das nur in bestimmten faellen sinn macht. Im allgemeinen sollte es schwierig sein, fuer so eine zerlegte gleichung noch eine sinnvolle randbedingung anzugeben.
Ein bekanntes beispiel, wo man eine PDE auf ein system von PDEs niedrigerer ordnung zurueckfuehrt, ist die bilaplace gleichung. Dort wird aus einer gleichung vierter ordnung ein system von gleichungen zweiter ordnung (zb. http://home.gna.org/pdesum/node6.html).
gruss
matthias
> Vielen Dank vorab schon einmal für die Unterstützung.
> Gruß Denny
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Mo 21.09.2009 | | Autor: | Denny22 |
Vielen lieben Dank Matthias.
Ich war mir eigentlich auch sehr sicher, dass die Matrizen quadratisch sein müssen. Dann deckt sich unsere Vermutungen. Die Seite zu der Ordungsreduzierung werde ich mir gleich mal ansehen.
Danke und Gruss
Denny
|
|
|
|
