Rolltreppe < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Mi 13.02.2008 | | Autor: | TNA-619 |
| Aufgabe | auf einer fahrenden rolltreppe läuft ein mann erst nach unten und muss 50 stufen hinabsteigen - danach läuft er 5-mal so schnell hinauf und muss diesmal 125 stufen steigen.
wie viele stufen hat die rolltreppe wenn sie steht? |
bei einem ausflug haben wir trigonometrisch die höhe von gebäuden berechnet und dabei haben wir dieses praktisch anwendbare beispiel entdeckt...
hab noch keinen ansatz gefunden, kann man das mit geschwindigkeiten ausrechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Mi 13.02.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hier läuft das ein wenig anders.
Nenn die Stufenzahl der stehenden Treppe mal x, und die Gesamtlänge der Treppe mal L.
Die Geschwindigkeit des Läufers nenne mal [mm] v_{l}, [/mm] die der Treppe [mm] v_{t}
[/mm]
Generell gilt ja: [mm] v=\bruch{s}{t}
[/mm]
Ich gehe mal davon aus, dass die Treppe abwärts fährt.
Wenn der Läufer jetzt auch herabläuft, addieren sich beide Geschwindigkeiten, also gilt:
[mm] v_{l}+v_{t}=L*t_{1}
[/mm]
[mm] \gdw t_{1}=\bruch{v_{l}+v_{t}}{L}
[/mm]
Läuft man nun gegen die Fahrtrichtung der Treppe gilt:
[mm] v_{l}-v_{t}=L*t_{2}
[/mm]
[mm] \gdw t_{2}=\bruch{5v_{l}-v_{t}}{L}
[/mm]
Das dauert jetzt aber 5mal solange, wie beim "Mitlaufen in Fahrtrichtung".
Also: [mm] 5t_{1}=t_{2}
[/mm]
Also: [mm] \bruch{5(v_{l}+v_{t})}{L}=\bruch{5v_{l}-v_{t}}{L}
[/mm]
Daraus kannst du jetzt die Fahrtgeschwindigkeit bestimmen.
Hilft das erstmal weiter?
Marius
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:07 Do 14.02.2008 | | Autor: | TNA-619 |
danke für die hilfe!
> Nenn die Stufenzahl der stehenden Treppe mal x, und die
> Gesamtlänge der Treppe mal L.
> Die Geschwindigkeit des Läufers nenne mal [mm]v_{l},[/mm] die der
> Treppe [mm]v_{t}[/mm]
>
> Generell gilt ja: [mm]v=\bruch{s}{t}[/mm]
>
> Ich gehe mal davon aus, dass die Treppe abwärts fährt.
>
> Wenn der Läufer jetzt auch herabläuft, addieren sich beide
> Geschwindigkeiten, also gilt:
>
> [mm]v_{l}+v_{t}=L*t_{1}[/mm]
> [mm]\gdw t_{1}=\bruch{v_{l}+v_{t}}{L}[/mm]
warum [mm] L*t_{1} [/mm] ? es wird doch die strecke durch die zeit dividiert, nicht multipliziert?
> Läuft man nun gegen die Fahrtrichtung der Treppe gilt:
>
> [mm]v_{l}-v_{t}=L*t_{2}[/mm]
> [mm]\gdw t_{2}=\bruch{5v_{l}-v_{t}}{L}[/mm]
warum [mm] 5v_{l}? [/mm] wenn man die erste gleichung durch L dividiert, hat man doch nur [mm] \bruch{v_{l}-v_{t}}{L}
[/mm]
>
> Das dauert jetzt aber 5mal solange, wie beim "Mitlaufen in
> Fahrtrichtung".
> Also: [mm]5t_{1}=t_{2}[/mm]
>
> Also: [mm]\bruch{5(v_{l}+v_{t})}{L}=\bruch{5v_{l}-v_{t}}{L}[/mm]
wenn man das auflöst kommt [mm] 5v_{t}=-v_{t} [/mm] raus?
>
> Daraus kannst du jetzt die Fahrtgeschwindigkeit bestimmen.
>
> Hilft das erstmal weiter?
>
> Marius
danke für die hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:47 Fr 15.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
der Ansatz von M.Rex ist zwar ganz gut, aber leider sehr unübersichtlich und auch nicht 100% richtig.
> wenn man das auflöst kommt [mm] 5v_{t}=-v_{t} [/mm] raus?
Genau deswegen, das würde [mm] v_t=0 [/mm] bedeuten.
Also:
[mm] Treppenstufen=gelaufen_{runter}+gefahren_{runter}
[/mm]
und
[mm] Treppenstufen=gelaufen_{hoch}+gefahren_{hoch} [/mm] (wobei [mm] gefahren_{hoch} [/mm] sicherlich das entgegengesetzte Vorzeichen zu [mm] gefahren_{runter} [/mm] hat)
somit
[mm] gelaufen_{runter}+gefahren_{runter}=gelaufen_{hoch}+gefahren_{hoch}
[/mm]
Nur müssen wir die Zeitverhältnisse herrausfinden, um die gefahrenen Stufen zu vergleichen.
Dazu betrachtet man die gelaufenen Stufen:
runter: 50
hoch: mit dem 5-fachen Tempo nur 125
D.h. wieviel Zeit hat er im Vergleich zum Treppensteigen benötigt ?
Ciao.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Sa 16.02.2008 | | Autor: | TNA-619 |
danke für die antwort!
[mm]Treppenstufen=gelaufen_{runter}+gefahren_{runter}[/mm]
> und
> [mm]Treppenstufen=gelaufen_{hoch}+gefahren_{hoch}[/mm] (wobei
> [mm]gefahren_{hoch}[/mm] sicherlich das entgegengesetzte Vorzeichen
> zu [mm]gefahren_{runter}[/mm] hat)
> somit
>
> [mm]gelaufen_{runter}+gefahren_{runter}=gelaufen_{hoch}+gefahren_{hoch}[/mm]
> Nur müssen wir die Zeitverhältnisse herrausfinden, um die
> gefahrenen Stufen zu vergleichen.
> Dazu betrachtet man die gelaufenen Stufen:
> runter: 50
> hoch: mit dem 5-fachen Tempo nur 125
> D.h. wieviel Zeit hat er im Vergleich zum Treppensteigen
> benötigt ?
also [mm] $gelaufen_{hoch}$ [/mm] ist 5-mal [mm] $gelaufen_{runter}$, [/mm] da er ja 5mal so schnell läuft
und [mm] $gefahren_{hoch}$ [/mm] ist dasselbe wie [mm] $-gefahren_{runter}$, [/mm] also:
[mm]gelaufen_{runter}+gefahren_{runter}=5*gelaufen_{runter}-gefahren_{runter}[/mm]
stimmt das soweit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Sa 16.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Nein, leider nicht, aber du bist schon recht nah dran.
In der Aufgabe steht doch [mm] gelaufen_{runter}=50.
[/mm]
Dann wäre doch [mm] 5*gelaufen_{runter}=5*50=250\not=125=gelaufen_{hoch}.
[/mm]
Wenn er hoch mit dem 5-fachen Tempo genauso lange gelaufen wäre, dann hätte er also 250 Treppen geschaft. Hat er aber nicht. D.h. den Weg nach oben muss er schneller absolviert haben. Wieviel Zeit wird er denn gebraucht haben wenn er nur 125 statt 250 Stufen gelaufen ist ?
Was heißt das jetzt für [mm] gefahren_{hoch} [/mm] ?
Ciao.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Do 21.02.2008 | | Autor: | TNA-619 |
> Nein, leider nicht, aber du bist schon recht nah dran.
>
> In der Aufgabe steht doch [mm]gelaufen_{runter}=50.[/mm]
> Dann wäre doch
> [mm]5*gelaufen_{runter}=5*50=250\not=125=gelaufen_{hoch}.[/mm]
> Wenn er hoch mit dem 5-fachen Tempo genauso lange gelaufen
> wäre, dann hätte er also 250 Treppen geschaft. Hat er aber
> nicht. D.h. den Weg nach oben muss er schneller absolviert
> haben. Wieviel Zeit wird er denn gebraucht haben wenn er
> nur 125 statt 250 Stufen gelaufen ist ?
> Was heißt das jetzt für [mm]gefahren_{hoch}[/mm] ?
also statt 250 stufen lief er nur 125
mit der fünffachen geschwindigkeit lief er nur in der halben anstatt in der fünftel zeit, da ihn die rolltreppe verlangsamt hat
also müsste die rolltreppe die gehgeschwindigkeit haben - wird sie addiert ergibt sich
1-fache geh-geschw + rolltreppengeschw = 1+1 = 2
subtrahiert ergibt sich die doppelte geschwindigkeit, weil er ja nur die halbe zeit (bzw. die doppelte geschwindigkeit) hatte
5-fache gehgeschw - rolltreppebngeschwindigkeit = 5-1 = 4
stimmt das so oder ist das völlig falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Do 21.02.2008 | | Autor: | Zneques |
> also statt 250 stufen lief er nur 125
> mit der fünffachen geschwindigkeit lief er nur in der halben anstatt in der
> fünftel zeit, da ihn die rolltreppe verlangsamt hat.
Ja. Genau. Er braucht also hoch nur halb soviel Zeit wie runter.
Da die Treppe doch immer die gleiche Geschwindigkeit hat, muss doch folgendes gelten :
[mm] gefahren_{hoch}= -\bruch{1}{2}*gefahren_{runter}
[/mm]
Das eingesetzt in
[mm] gelaufen_{runter}+gefahren_{runter}=gelaufen_{hoch}+gefahren_{hoch}
[/mm]
kannst du dann nach [mm] gefahren_{runter} [/mm] umstellen, und damit endlich
[mm] Treppenstufen=gelaufen_{runter}+gefahren_{runter}
[/mm]
lösen.
> also müsste die rolltreppe die gehgeschwindigkeit haben
Nicht schlecht. Ich bin mir nicht 100% sicher, ob du gut kombiniert, oder glücklich geraten hast. Aber mit dem, was du geschrieben hast, läßt sich die Aussage begründen.
Da er 50 Stufen läuft, kannst du die Lösung damit noch schneller bestimmen.
Ciao.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Do 21.02.2008 | | Autor: | TNA-619 |
> Nicht schlecht. Ich bin mir nicht 100% sicher, ob du gut
> kombiniert, oder glücklich geraten hast. Aber mit dem, was
> du geschrieben hast, läßt sich die Aussage begründen.
gut kombiniert hoff ich mal ;)
> Da er 50 Stufen läuft, kannst du die Lösung damit noch
> schneller bestimmen.
das müssten dann 100 sein, weil er ohne dir rolltreppe nur noch die halbe geschwindigkeit hat, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 Do 21.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Ja.
50+50=100 ( Runter )
125-25=100 ( Hoch )
Gratuliere.
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