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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Mi 30.07.2008 | | Autor: | Abel |
| Aufgabe | | Herrleitung der Romberg Integration |
Hallo an Alle,
Ich hoffe hier das Forum kann mir helfen, denn ich habe ein Porblem.
Und zwar geht es um die Romberg Integration, ich habe sie verstanden also ich kann mit ihr rechnen, aber ich muss für eine Seminararbeit ihr entstehen bzw. die herleitung dieses Verfahrens beschreiben, dabei fällt auch immer wieder das Schlagwort Richardson Extrapolation.
Leider finde ich fast nichts im Internet dazu.
Trapezformel ist mir auch bekannt und das Romberg diese verwendet hat aber wie hängt das alles zusammen.
Also meine Frage ist: Gibt es jemanden der mir vielleicht Romberg herleiten kann (Rechenvorschrift) oder mir die zusammen hängen von Richardson und Romberg erläutern kann bzw. was die Euler-MacLaurinsche Summeformel ist?
Wäre Super wenn ihr mir da Helfen könntet.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
www.matheboard.de
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Hallo wie passlich das ich gerade auch eine Seminararbeit über numerische Integration schreiben durfte. Ich werds mal versuchen. Ich hab in meiner Arbeit die Euler-Maclaurinsche Summenformelherleitung verwendet.
Das erste Ziel was man hat ist eine asymptotische Abschätzung des Quadraturfehlers zu erhalten ohne den Genauen wert des Integrals zu kennen. Dazu kann man mit der Euler Maclaurinschen Summenformel arbeiten . Für $f [mm] \in C^{2m+2} [/mm] [0,N] $ lautet die ja:
[mm] \integral_{0}^{N}{f(x) dx} =\bruch{f(0)}{2}+ f(1)+.......+f(N-1)+\bruch{f(N)}{2}-\summe_{k=1}^{m}\bruch{B_{2k}}{(2k)!}(f^{2k-1}(N)-f^{2k-1}(0))-N\cdot \bruch{B_{2m+2}}{(2m+2)!}f^{2m+2}(\xi) [/mm] mit [mm] $\xi \in [/mm] (a,b)$
Jetzt kann man das auf die Trapezregel mit der Schrittweite [mm] h=\bruch{b-a}{N} [/mm] anwenden. Dann bekommt man:
[mm] T(h)=\integral_{a}^{b}{ f(x) dx} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{m}h^{2k}\bruch{B_{2k}}{(2k)!}(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a))+(b-a)\cdot h^{2m+2} \cdot \bruch{B_{2m+2}}{(2m+2)!}f^{2m+2}(\xi(h)).
[/mm]
Das ist ganz schön lang(der Beweis der euler maclaurinschen Summenformel ist auch ganz toll) aber entscheidend ist eher folgendes:
Der fehler der Trapezregel lässt sich asymptotisch abschätzten durch den Letzten Term der Summe: [mm] $h^{2m+2} \cdot \bruch{B_{2m+2}}{(2m+2)!}f^{2m+2}(\xi(h))$. [/mm] Das kann man abschätzen durch [mm] h^{2m+2} \cdot \bruch{B_{2m+2}}{(2m+2)!}\max_{x \in [a,b]} |f^{2m+2}(x)|.
[/mm]
So nu gehts weiter:
Sei jetzt $I$ der exakte Integralwert und sei [mm] $I_{h}$ [/mm] die näherung an I mit der der Schrittweite $h$. Dabei ist I zuerst mal eine beliebige Quadraturformel.
Jetzt brauch ich noch die globale Fehlerordung $p$ der Quadraturformel [mm] I_{h}. [/mm] Das ist ja der Grad der Polynome die von der Quadraturformel exakt integriert werden +1. Also für die Trapezregel ist die globale Fehlerordung beispielsweise 2, denn sie integriert polynome bis grad 1 exakt.
Nach dem ganzen Kladeradatsch oben wissen wir das sich der Fehler zwischen Exaktem Integralwert und nährung Immer darstellen lässt als:
[mm] $E_{h}=I-I_{h}=(b-a)\cdot \alpha h^p [/mm] + [mm] O(h^{p+2})$. [/mm]
Jetzt macht man dasselbe nocheinmal mit der Schrittweite $2h$. Dann gilt ja
[mm] $E_{2h}=I-I_{2h}=(b-a)\cdot \alpha (2h)^p+ O((2h)^{p+2})$.
[/mm]
So nu kann man die zweite Gleichung von der ersten abziehen und durch [mm] $2^p-1$ [/mm] teilen dann kommt man auf
[mm] $\bruch {I_{h} - I_{2h}}{2^p-1}=(b-a)\cdot \alpha h^p [/mm] + [mm] O(h^{p+2})=I-I_{h}+O(h^{p+2}).$ [/mm] Nun kann man das nach dem Exakten Integralwert umstellen. Dann kommt man auf
[mm] I=I_{h}+\bruch {I_{h} - I_{2h}}{2^p-1}+O(h^{p+2}). [/mm] Wenn man nun für die Quadraturformel das Trapezverfahren einsetzt hat man das Rombergverfahren.
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asysmpthotische
ansysmtotisch
Dieser exotische Begriff sollte wohl auch hier einfach "asymptotisch" heissen.
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