Rotation, Stokes < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Do 07.07.2011 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Gegeben ist das Vektorfeld
m = [mm] \pmat{ y ln (1+z^2) \\ y arctan(x^2) \\ ln(2+cos(z)^2) }
[/mm]
1)- Berechnen sie das Arbeitsintegral längs des Kreises [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 4, z = 3.
2)- Bestimmen sie den Fluss von rot(m) durch die Kreisscheibe [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 4, z=0
3)- Bestimmen sie den den Fluss von rot(m) durch den Zylindermantel [mm] x^2+y^2=4, [/mm] 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 3 |
Nun würde ich gerne wissen ob meine Ansätze zu den verschiedenen Aufgabenstellungen passen.
Zunächst Fluss der Rotation ist nichts anderes als die Zirkulation?
rot(m) = [mm] \pmat{ 0 \\ \bruch{2yz}{1+z^2} \\ \bruch{2yx}{1+x^2} - ln(1+z^2) }
[/mm]
1) Arbeitsintegral
Ansatz:
C(t) = [mm] \vektor{ 2 cos(t) \\ 2 sin(t) \\ 3}
[/mm]
[mm] \integral [/mm] m(C(t) * C'(t) dt
[mm] \integral_{0}^{2\pi} \vektor{2*sin(t) * 9 \\ 2 sin(t) * arctan(16cos^2(t) \\ ln(2+cos(3)^2} [/mm] * [mm] \vektor{-2 sin(t) \\ 2 cos(t) \\ 0} [/mm] dt
2) Fluss der rot(m) -> hier kann ich ja kein Stokes anwenden, da 3-dimensionales Vektorfeld und Kreisscheibe
Ansatz vllt:
[mm] \integral \integral \integral [/mm] m [mm] *\vektor{0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] dx dy dz
3) Zylindermantel -> Stokes
Nun habe ich ja den Radius von 2 gegeben.
x = r * [mm] cos(\phi) [/mm] y = r * [mm] sin(\phi) [/mm]
[mm] \integral \integral \integral [/mm] rot(m) * n dx dy dz
[mm] \integral_{0}^{\2pi} \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{3} [/mm] rot(m) * [mm] \vektor{0\\ 0 \\ 1} [/mm] * r dz dr [mm] d\phi
[/mm]
Vielen Vielen Dank!
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Hallo!
> Gegeben ist das Vektorfeld
>
> m = [mm]\pmat{ y ln (1+z^2) \\ y arctan(x^2) \\ ln(2+cos(z)^2) }[/mm]
>
> 1)- Berechnen sie das Arbeitsintegral längs des Kreises
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = 4, z = 3.
>
> 2)- Bestimmen sie den Fluss von rot(m) durch die
> Kreisscheibe [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = 4, z=0
>
> 3)- Bestimmen sie den den Fluss von rot(m) durch den
> Zylindermantel [mm]x^2+y^2=4,[/mm] 0 [mm]\le[/mm] z [mm]\le[/mm] 3
> Nun würde ich gerne wissen ob meine Ansätze zu den
> verschiedenen Aufgabenstellungen passen.
>
> Zunächst Fluss der Rotation ist nichts anderes als die
> Zirkulation?
>
> rot(m) = [mm]\pmat{ 0 \\ \bruch{2yz}{1+z^2} \\ \bruch{2yx}{1+x^2} - > ln(1+z^2) }[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Es ist: [mm] \bruch{\partial}{\partial{x}}m_{y}=y\bruch{\partial}{\partial{x}}(arctan(x^{2}))=y\bruch{\partial}{\partial{x}}(arctan(x)\circ(x^{2}))=y\vektor{\bruch{1}{1+x^{2}}\circ(x^{2})}2x=\bruch{2xy}{1+x^{4}}
[/mm]
Für den Rest kannst du hier mal nachsehen.
> 1) Arbeitsintegral
> Ansatz:
> C(t) = [mm]\vektor{ 2 cos(t) \\ 2 sin(t) \\ 3}[/mm]
>
> [mm]\integral[/mm] m(C(t) * C'(t) dt
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi} \vektor{2*sin(t) * 9 \\ 2 sin(t) * arctan(16cos^2(t) \\ ln(2+cos(3)^2}[/mm]
> * [mm]\vektor{-2 sin(t) \\ 2 cos(t) \\ 0}[/mm] dt
>
> 2) Fluss der rot(m) -> hier kann ich ja kein Stokes
> anwenden, da 3-dimensionales Vektorfeld und Kreisscheibe
>
> Ansatz vllt:
>
> [mm]\integral \integral \integral[/mm] m [mm]*\vektor{0 \\ 0 \\ 1 }[/mm] dx
> dy dz
>
> 3) Zylindermantel -> Stokes
>
> Nun habe ich ja den Radius von 2 gegeben.
>
> x = r * [mm]cos(\phi)[/mm] y = r * [mm]sin(\phi)[/mm]
>
> [mm]\integral \integral \integral[/mm] rot(m) * n dx dy dz
>
>
> [mm]\integral_{0}^{\2pi} \integral_{0}^{2} \integral_{0}^{3}[/mm]
> rot(m) * [mm]\vektor{0\\ 0 \\ 1}[/mm] * r dz dr [mm]d\phi[/mm]
>
>
> Vielen Vielen Dank!
Viele Grüße, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Do 07.07.2011 | | Autor: | zocca21 |
Erstmal vielen Dank:
also m = [mm] \pmat{ 0 \\ \bruch{2yz}{1+z^2} \\ \bruch{2yx}{1+x^4} - ln(1+z^2) }
[/mm]
Ist der Fluss der Rotation dasselbe wie die Zirkulation? Danke :)
Danke für den Link. Stokes kann ich ja aber hier nur in 3) anwenden.
Radius jeder Kreisscheibe ist ja immer 2.
Was für einen Unterschied macht es nun, dass [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 2 und nicht [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le [/mm] 2 sind?
Deshalb würde mich momentan sehr interessieren wie die jeweiligen Ansätze aussehen und ob die so in der Art stimmen wie ich herangegangen bin.
Danke nochmal sehr!
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> Erstmal vielen Dank:
>
> also m = [mm]\pmat{ 0 \\ \bruch{2yz}{1+z^2} \\ \bruch{2yx}{1+x^4} - ln(1+z^2) }[/mm]
>
> Ist der Fluss der Rotation dasselbe wie die Zirkulation?
> Danke :)
Für den Fall, dass das Arbeitsintegral über einen geschlossenen Weg integriert wird hat man
[mm] \integral_{K}^{}{\vec{f}d\vec{x}}=\oint_K\vec{f}d\vec{x}
[/mm]
Dieses Integral nennt man dann Zirkulation, geschlossenes Randkurvenintegral oder Ringintegral des Vektorfeldes [mm] \vec{f} [/mm] längs K. Was hat das Ganze nun mit dem Satz von Stokes zu tun? Für den Fall, dass F eine stückweise glatte, orientierte Fläche mit stückweiser glatter, bezüglich F positiv orientierter Randkurve K ist, gilt für stetig differenzierbare Vektorfunktionen [mm] \vec{f}:\IR^{3}\to\IR^{3}
[/mm]
[mm] \integral_{K}^{}{\vec{f}d\vec{x}}=\integral_{F}^{}{rot\vec{f}d\vec{F}}
[/mm]
Physikalisch kann man das Ganze dann wie folgt beschreiben: Der Fluss des Rotors eines Vektorfeldes [mm] \vec{f} [/mm] durch eine Fläche F ist gleich der Zirkulation des Feldes [mm] \vec{f} [/mm] längs der Randkurve K von F.
Oder:
Das Flächenintegral über die Wirbel eines Vektorfeldes ist gleich dem Integral des Vektorfeldes selber, über den Rand der Fläche.
> Danke für den Link. Stokes kann ich ja aber hier nur in 3)
> anwenden.
>
> Radius jeder Kreisscheibe ist ja immer 2.
> Was für einen Unterschied macht es nun, dass [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] =
> 2 und nicht [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2 \le[/mm] 2 sind?
Nun ja, es macht durchaus einen (dimensionalen) Unterschied, ob du über eine Kreisfläche oder über einen Kreisring integrierst. So hat man beispielsweise mit
[mm] \vec{r}=\rho{cos(\varphi)}\vec{e}_{x}+\rho{sin(\varphi)}\vec{e}_{y}, \rho\in[0,\infty), \varphi\in[0,2\pi)
[/mm]
eine Parametrisierung für eine Kreisfläche auf der xy-Ebene für z=0, während man mit
[mm] \vec{r}=R{cos(\varphi)}\vec{e}_{x}+Rsin(\varphi)\vec{e}_{y}, \varphi\in[0,2\pi)
[/mm]
eine Parameterdarstellung für einen Kreisring mit dem Radius R (und z=0) hat.
> Deshalb würde mich momentan sehr interessieren wie die
> jeweiligen Ansätze aussehen
Hast du dir den Link mal angesehen?
> und ob die so in der Art
> stimmen wie ich herangegangen bin.
Nein. Ich sehe auf den ersten Blick, dass sie falsch sind. Mache dir zunächst einmal die geometrische Interpretation des Integralsatzes von Stokes klar. Er bildet eine Beziehung zwischen einem Oberflächenintegral und einem Linienintegral; Volumenintegrale haben da nichts zu suchen.(Diese tauchen im Integralsatz von Gauss auf, welcher eine Beziehung zwischen einem Oberflächenintegral und einem Volumenintegral über ein Vektorfeld darstellt.)
> Danke nochmal sehr!
Gruß, Marcel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:23 Fr 08.07.2011 | | Autor: | zocca21 |
Danke für die Erklärung!
Ja den Link hab ich mir angesehen.
Ich tue mich nur schwer aus der Theorie etwas hier in die Praxis abzuleiten. An Beispielen kann ich mir das meist besser vorstellen.
1) Arbeitsintegral
[mm] \integral_{K}^{}{\vec{f}d\vec{x}}=\oint_K\vec{f}d\vec{x} [/mm] = [mm] \integral [/mm] m(C(t)) * C'(t) dt
oder?
2) Fehlt mir der Ansatz:
3)
[mm] \integral \integral \integral [/mm] rot(m) * n d0
wobei n = [mm] \bruch{Xu(u,v) x Xv(u,v)}{|Xu(u,v) x Xv(u,v)|}
[/mm]
dO = |Xu(u,v) x Xv(u,v)|
n*dO = Xu(u,v) x Xv(u,v)
Jedoch muss ich dazu ja erstmal mein Vektorfeld parametrisieren oder? Es liegt ja in x,y vor.
Oder kann ich hier leichter vorgehen?
Vielen Dank.
Wäre super wenn ich anhand der 3 verschiedenen Aufgabentypen ein Verständnis entwickeln könnte.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 10:52 Sa 09.07.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ich meine:
In 3) darf ich ja den Weg über den Fluss von rot durch das Flächenstück gehen.
Danke nochmal
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mo 11.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 So 10.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:13 Do 14.07.2011 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
> Danke für die Erklärung!
>
> Ja den Link hab ich mir angesehen.
> Ich tue mich nur schwer aus der Theorie etwas hier in die
> Praxis abzuleiten. An Beispielen kann ich mir das meist
> besser vorstellen.
Ja, nimm dir noch mal etwas Zeit und schaue dir auch die externen Verlinkungen an. Die dort angewandten Algorithmen kannst du nahezu 1:1 übernehmen.
> 1) Arbeitsintegral
>
> [mm]\integral_{K}^{}{\vec{f}d\vec{x}}=\oint_K\vec{f}d\vec{x}[/mm] =
> [mm]\integral[/mm] m(C(t)) * C'(t) dt
>
> oder?
>
> 2) Fehlt mir der Ansatz:
>
> 3)
> [mm]\integral \integral \integral[/mm] rot(m) * n d0
Wieso ignorierst du die Antworten aus meinem vorherigen Post? Hier steht immer noch ein Volumenintegral. Nochmal: Der Integralsatz von Stokes
[mm] \integral_{A}^{}{rot\vec{F}*d\vec{A}}=\integral_{\partial{A}}^{}{\vec{F}*d\vec{s}}
[/mm]
setzt ein Oberflächenintegral mit einem Linienintegral in Beziehung. A beschreibt dabei eine einfach zusammenhängende Fläche während [mm] \partial{A} [/mm] eine geschlossene Randkurve der Fläche A angibt. Vergegenwärtige dir zunächst diese geometrischen Bedeutungen, bevor du weiterhin drauf los rechnest.
> wobei n = [mm]\bruch{Xu(u,v) x Xv(u,v)}{|Xu(u,v) x Xv(u,v)|}[/mm]
>
> dO = |Xu(u,v) x Xv(u,v)|
>
> n*dO = Xu(u,v) x Xv(u,v)
>
> Jedoch muss ich dazu ja erstmal mein Vektorfeld
> parametrisieren oder? Es liegt ja in x,y vor.
>
> Oder kann ich hier leichter vorgehen?
>
> Vielen Dank.
> Wäre super wenn ich anhand der 3 verschiedenen
> Aufgabentypen ein Verständnis entwickeln könnte.
Viele Grüße , Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Di 19.07.2011 | | Autor: | zocca21 |
> Wieso ignorierst du die Antworten aus meinem vorherigen
> Post? Hier steht immer noch ein Volumenintegral. Nochmal:
> Der Integralsatz von Stokes
>
> [mm]\integral_{A}^{}{rot\vec{F}*d\vec{A}}=\integral_{\partial{A}}^{}{\vec{F}*d\vec{s}}[/mm]
>
>
> setzt ein Oberflächenintegral mit einem Linienintegral in
> Beziehung. A beschreibt dabei eine einfach
> zusammenhängende Fläche während [mm]\partial{A}[/mm] eine
> geschlossene Randkurve der Fläche A angibt.
> Vergegenwärtige dir zunächst diese geometrischen
> Bedeutungen, bevor du weiterhin drauf los rechnest.
>
>
>
> > wobei n = [mm]\bruch{Xu(u,v) x Xv(u,v)}{|Xu(u,v) x Xv(u,v)|}[/mm]
>
> >
> > dO = |Xu(u,v) x Xv(u,v)|
> >
> > n*dO = Xu(u,v) x Xv(u,v)
> >
Der Satz von Stokes ist doch das 3-dimensionale Analogon zu Green.
Ich kenn ihn als:
[mm] \integral_{\partial{A}}^{}{\vec{g(s)}\cdot{}d\vec{s}}=\integral_{A}^{}{rot\vec{g}* n\cdot{}d\vec{A}} [/mm]
Nun habe ich auch Schreibweisen gesehn bei denen der Normalvektor nicht berücksichtigt wurde. Wieso ist das so?
Vielleicht ist dies hier auch der Part der mich verwirrt.
Vielen Dank
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Hallo!
> > Wieso ignorierst du die Antworten aus meinem vorherigen
> > Post? Hier steht immer noch ein Volumenintegral. Nochmal:
> > Der Integralsatz von Stokes
> >
> >
> [mm]\integral_{A}^{}{rot\vec{F}*d\vec{A}}=\integral_{\partial{A}}^{}{\vec{F}*d\vec{s}}[/mm]
> >
> >
> > setzt ein Oberflächenintegral mit einem Linienintegral in
> > Beziehung. A beschreibt dabei eine einfach
> > zusammenhängende Fläche während [mm]\partial{A}[/mm] eine
> > geschlossene Randkurve der Fläche A angibt.
> > Vergegenwärtige dir zunächst diese geometrischen
> > Bedeutungen, bevor du weiterhin drauf los rechnest.
> >
> >
> >
> > > wobei n = [mm]\bruch{Xu(u,v) x Xv(u,v)}{|Xu(u,v) x Xv(u,v)|}[/mm]
>
> >
> > >
> > > dO = |Xu(u,v) x Xv(u,v)|
> > >
> > > n*dO = Xu(u,v) x Xv(u,v)
> > >
>
> Der Satz von Stokes ist doch das 3-dimensionale Analogon zu
> Green.
>
> Ich kenn ihn als:
>
> [mm]\integral_{\partial{A}}^{}{\vec{g(s)}\cdot{}d\vec{s}}=\integral_{A}^{}{rot\vec{g}* n\cdot{}d\vec{A}}[/mm]
So nicht.
> Nun habe ich auch Schreibweisen gesehn bei denen der
> Normalvektor nicht berücksichtigt wurde. Wieso ist das so?
Richtung muss es heissen:
[mm] \integral_{\partial{A}}^{}{\vec{g(s)}\cdot{}d\vec{s}}=\integral_{A}^{}{rot\vec{g}*\vec{n}{d{A}}}
[/mm]
oder
[mm] \integral_{\partial{A}}^{}{\vec{g(s)}\cdot{}d\vec{s}}=\integral_{A}^{}{rot\vec{g}*d\vec{A}}
[/mm]
Vielleicht schreibst du einfach mal auf, was du genau gesehen hast. Prinzipiell hast du für das Flächenintegral auf der rechten Seite der Gleichung immer ein Skalarprodukt zwischen den Richtungen des vorliegenden Wirbelfeldes und dem Flächennormaleneinheitsvektor der vorliegenden Flächenparametrisierung, also der Richtung des infinitesimal kleinen orientierten Flächenteilstücks. Man hat also im Zuge der Parametrisierung einer Fläche zunächst die folgende Darstellung:
[mm] \vec{r}(u,v), [/mm] mit [mm] (u,v)\subset\IR^{2}
[/mm]
Das entsprechende Flächendifferential berechnet sich dann gemäß
[mm] \vec{n}dA=d\vec{A}=\vektor{\bruch{\partial\vec{r}}{\partial{u}}\times\bruch{\partial\vec{r}}{\partial{v}}}dudv
[/mm]
> Vielleicht ist dies hier auch der Part der mich verwirrt.
>
> Vielen Dank
Viele Grüße, Marcel
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