Rotation eines Kreises im Raum < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ein beliebger Kreis im Raum [mm] k: \vec{x} = \vec{M} + r * \vec{u} \cos{s} + r * \vec{v} \sin{s} [/mm] soll durch Drehung um die Z-Achse so positioniert werden, dass er die beliebige Gerade [mm] g: \vec{x} = \vec{P} + t * \vec{d} [/mm] schneidet. Gesucht ist der Winkel [mm] \phi [/mm] um welchen die Rotation des Kreises um die Z-Achse durchgeführt werden muss. |
Zur Lösung der Aufgabe, habe ich als erstes eine Rotationsmatrize um die Z-Achse mit Winkel [mm] \phi [/mm] eingeführt: [mm] T = [mm] \begin{bmatrix} \cos{\phi} & -\sin{\phi} & 0 \\ \sin{\phi} & \cos{\phi} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
[/mm]
Ich stelle fest, dass sich in der Aufgabenstellung 3 unbekannte Parameter verstecken: s, t und natürlich das gesuchte [mm] \phi
[/mm]
Also stelle ich drei linear unabhängige Gleichungen auf, um durch schrittweise Elimination zum Resultat zu gelangen.
Hier die drei Gleichungen mit Beschreibung:
1. Nach der Transformation schneiden sich g und k in min. einem Punkt. Also muss es ein Wert für t und s geben, der folgende Gleichung erfüllt:
[mm] \vec{P} + t * \vec{d} = T * (\vec{M} + r*\begin{bmatrix}\vec{u} & \vec{v} \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} \cos{s} \\ \sin{s}\end{bmatrix}) [/mm]
2. Der Vektor vom transformierten Mittelpunkt [mm] \vec{M} [/mm] des Kreises zum Schnittpunkt mit der Gerade, muss die Länge des Kreisradius aufweisen
[mm] \left| \vec{P} + t * \vec{d} - T * \vec{M} \right|^2 = r^2 [/mm]
3. Der Vektor vom transformierten Mittelpunkt [mm] \vec{M} [/mm] des Kreises zum Schnittpunkt mit der Gerade muss in der selben Ebene liegen wie der Richtungsvektor [mm] \vec{d} [/mm] der Geraden g. Hierfür verwende ich folgende Beziehung: Die beiden Geraden [mm] \vec{A} + i * \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{C} + j * \vec{d} [/mm] liegen genau dann in einer Ebene (sind komplanar), wenn gilt
[mm] (\vec{A}-\vec{C})*(\vec{b} \times \vec{d}) = 0 [/mm]
Auf die eingentliche Aufgabenstellung adaptiert ergibt sich:
[mm] (\vec{P} - T*\vec{M}) * (\vec{d} \times T*\begin{bmatrix}\vec{u} & \vec{v} \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} \cos{s} \\ \sin{s}\end{bmatrix}) [/mm]
Nun möchte ich so vorgehen, dass ich die Parameter s und t eliminiere was mir letztendlich eine Gleichung für [mm] \phi [/mm] erzeugt.
Gleichung 2 löse ich nach t auf:
[mm] t = -d'(\vec{P}-T*\vec{M}) \pm \wurzel{(d'(\vec{P}-T*\vec{M}))^2-(\vec{P}-T*\vec{M})^2+r^2} [/mm]
Gleichung 1 löse ich wiefolgt auf:
[mm] T*\begin{bmatrix}\vec{u} & \vec{v} \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} \cos{s} \\ \sin{s}\end{bmatrix} = 1/r * (\vec{P} + t * \vec{d} - T*\vec{M}) [/mm]
Nun kann ich die beiden umgeformten Gleichungen in der dritten Gleichung einsetzen:
[mm] (\vec{P}-T*\vec{M})*(\vec{d} \times \left[ \vec{P}- \left[ \vec{d}' ( \vec{P}-T*\vec{M}) \pm \wurzel{(d'(\vec{P}-T*\vec{M}))^2-(\vec{P}-T*\vec{M})^2+r^2} \right] *\vec{d} - T*\vec{M} \right]*\frac{1}{r}) = 0 [/mm]
Für etwas mehr Übersicht führe ich folgende Substitution ein: [mm] \vec{S} = \vec{P} - T*\vec{M} [/mm].
Somit schreibt sich der Ausdruck nun:
[mm] \vec{S} * ( \vec{d} \times \left[ \vec{P} - \left[ \vec{d}'\vec{S} \pm \wurzel{(\vec{d}'\vec{S})^2-\vec{S}^2+r^2}\right]*\vec{d} + \vec{S} - \vec{P} \right]*\frac{1}{r} ) = 0 [/mm]
Der Ausdruck lässt sich noch ein wenig vereinfachen:
[mm] \vec{S} * ( \vec{d} \times \left[ \vec{S} - ( \vec{d}'\vec{S} \pm \wurzel{(\vec{d}'\vec{S})^2-\vec{S}^2+r^2} )*\vec{d} \right]*\frac{1}{r} ) = 0 [/mm]
Tja, und genau an dieser Stelle bin ich mit meinem Latain am Ende. Ich habe eine Gleichung, eine Unbekannte und keinen Plan, wie ich diese Gleichung weiter behandeln soll. Mein Plan wäre gewesen, die Gleichung nach S aufzulösen, die Substitution rückgängig zu machen und zum Schluss nach [mm] \phi [/mm] aufzulösen.
Was meint ihr? Ist am Lösungsweg grundsätzlich etwas nicht korrekt oder unklug? Lässt sich evtl. die letzte Gleichung durch einen mathematischen Kniff umformen und nach S auflösen?
Vielen, vielen Dank an alle, die sich dazu motivieren könen, mein Problem anzusehen. Über einen Tip oder Hinweis wäre ich überglücklich!!!!
Herzliche Grüsse
Kernel2000
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> Ein beliebger Kreis im Raum [mm]k: \vec{x} = \vec{M} + r * \vec{u} \cos{s} + r * \vec{v} \sin{s}[/mm]
> soll durch Drehung um die Z-Achse so positioniert werden,
> dass er die beliebige Gerade [mm]g: \vec{x} = \vec{P} + t * \vec{d}[/mm]
> schneidet. Gesucht ist der Winkel [mm]\phi[/mm] um welchen die
> Rotation des Kreises um die Z-Achse durchgeführt werden
> muss.
> Zur Lösung der Aufgabe, habe ich als erstes eine
> Rotationsmatrize um die Z-Achse mit Winkel [mm]\phi[/mm]
> eingeführt: [mm]T = [mm]\begin{bmatrix} \cos{\phi} & -\sin{\phi} & 0 \\ \sin{\phi} & \cos{\phi} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.[/mm]
Ich stelle fest, dass sich in der Aufgabenstellung 3 unbekannte Parameter verstecken: s, t und natürlich das gesuchte [mm]\phi[/mm]
Also stelle ich drei linear unabhängige Gleichungen auf, um durch schrittweise Elimination zum Resultat zu gelangen.
Hier die drei Gleichungen mit Beschreibung:
1. Nach der Transformation schneiden sich g und k in min. einem Punkt. Also muss es ein Wert für t und s geben, der folgende Gleichung erfüllt:
[mm]\vec{P} + t * \vec{d} = T * (\vec{M} + r*\begin{bmatrix}\vec{u} & \vec{v} \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} \cos{s} \\ \sin{s}\end{bmatrix})[/mm]
2. Der Vektor vom transformierten Mittelpunkt [mm]\vec{M}[/mm] des Kreises zum Schnittpunkt mit der Gerade, muss die Länge des Kreisradius aufweisen
[mm]\left| \vec{P} + t * \vec{d} - T * \vec{M} \right|^2 = r^2[/mm]
3. Der Vektor vom transformierten Mittelpunkt [mm]\vec{M}[/mm] des Kreises zum Schnittpunkt mit der Gerade muss in der selben Ebene liegen wie der Richtungsvektor [mm]\vec{d}[/mm] der Geraden g. Hierfür verwende ich folgende Beziehung: Die beiden Geraden [mm]\vec{A} + i * \vec{b}[/mm] und [mm]\vec{C} + j * \vec{d}[/mm] liegen genau dann in einer Ebene (sind komplanar), wenn gilt
[mm](\vec{A}-\vec{C})*(\vec{b} \times \vec{d}) = 0[/mm]
Auf die eingentliche Aufgabenstellung adaptiert ergibt sich:
[mm](\vec{P} - T*\vec{M}) * (\vec{d} \times T*\begin{bmatrix}\vec{u} & \vec{v} \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} \cos{s} \\ \sin{s}\end{bmatrix})[/mm]
Nun möchte ich so vorgehen, dass ich die Parameter s und t eliminiere was mir letztendlich eine Gleichung für [mm]\phi[/mm] erzeugt.
Gleichung 2 löse ich nach t auf:
[mm]t = -d'(\vec{P}-T*\vec{M}) \pm \wurzel{(d'(\vec{P}-T*\vec{M}))^2-(\vec{P}-T*\vec{M})^2+r^2}[/mm]
Gleichung 1 löse ich wiefolgt auf:
[mm]T*\begin{bmatrix}\vec{u} & \vec{v} \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} \cos{s} \\ \sin{s}\end{bmatrix} = 1/r * (\vec{P} + t * \vec{d} - T*\vec{M})[/mm]
Nun kann ich die beiden umgeformten Gleichungen in der dritten Gleichung einsetzen:
[mm](\vec{P}-T*\vec{M})*(\vec{d} \times \left[ \vec{P}- \left[ \vec{d}' ( \vec{P}-T*\vec{M}) \pm \wurzel{(d'(\vec{P}-T*\vec{M}))^2-(\vec{P}-T*\vec{M})^2+r^2} \right] *\vec{d} - T*\vec{M} \right]*\frac{1}{r}) = 0[/mm]
Für etwas mehr Übersicht führe ich folgende Substitution ein: [mm]\vec{S} = \vec{P} - T*\vec{M} [/mm].
Somit schreibt sich der Ausdruck nun:
[mm]\vec{S} * ( \vec{d} \times \left[ \vec{P} - \left[ \vec{d}'\vec{S} \pm \wurzel{(\vec{d}'\vec{S})^2-\vec{S}^2+r^2}\right]*\vec{d} + \vec{S} - \vec{P} \right]*\frac{1}{r} ) = 0[/mm]
Der Ausdruck lässt sich noch ein wenig vereinfachen:
[mm]\vec{S} * ( \vec{d} \times \left[ \vec{S} - ( \vec{d}'\vec{S} \pm \wurzel{(\vec{d}'\vec{S})^2-\vec{S}^2+r^2} )*\vec{d} \right]*\frac{1}{r} ) = 0[/mm]
Tja, und genau an dieser Stelle bin ich mit meinem Latain am Ende. Ich habe eine Gleichung, eine Unbekannte und keinen Plan, wie ich diese Gleichung weiter behandeln soll. Mein Plan wäre gewesen, die Gleichung nach S aufzulösen, die Substitution rückgängig zu machen und zum Schluss nach [mm]\phi[/mm] aufzulösen.
Was meint ihr? Ist am Lösungsweg grundsätzlich etwas nicht korrekt oder unklug? Lässt sich evtl. die letzte Gleichung durch einen mathematischen Kniff umformen und nach S auflösen?
Vielen, vielen Dank an alle, die sich dazu motivieren könen, mein Problem anzusehen. Über einen Tip oder Hinweis wäre ich überglücklich!!!!
Herzliche Grüsse
Kernel2000
Hallo Kernel2000,
ich sehe da recht umfangreiche Gleichungen und frage mich,
ob es nicht deutlich einfacher ginge, wenn man die Gerade
drehen würde anstatt den Kreis. Eigentlich sucht man ja nur
den bzw. die möglichen Drehwinkel. Und der ist bis auf das
Vorzeichen derselbe, ob man nun die Gerade oder den Kreis
dreht.
LG Al-Chw.
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Hi, da bin ich nochmal.
Entschuldige bitte, dass ich auf deinen Ansatz bisher gar
nicht eingegangen bin.
Ich hätte da eine geometrische Idee, die möglicherweise
mit minimalem Rechenaufwand zu bewältigen wäre.
Ich nehme einmal an, dass man im konkreten Fall
vorgegebene Daten für P , [mm] \vec{d} [/mm] , M , [mm] \vec{u} [/mm] , [mm] \vec{v} [/mm] , r hat.
Es soll ja wohl kaum alles rein formal und abstrakt
gelöst werden ?
Also, wir drehen statt den Kreis die Gerade um die
z-Achse. Dabei überstreicht sie eine Hyperboloidfläche
(ähnlich aussehend wie ein Kühlturm). Diese Fläche,
nennen wir sie H, hat eine recht einfache Gleichung
der Form
[mm] $\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{(z-z_0)^2}{b^2}\ [/mm] =\ 1$
Nun müsste man einfach diese Fläche mit dem Kreis k
schneiden. Dabei entsteht eine Gleichung für die
möglichen Werte des Parameters t (höchstens 2 im
Intervall [0 ... [mm] 2\pi]). [/mm]
Dies wird eine in sin(t) und cos(t) quadratische
Gleichung sein. Die ist jedenfalls exakt lösbar.
Den Drehwinkel für die Drehung der Geraden (bzw.
des Kreises) um die z-Achse zu berechnen, ist dann
eine einfache Zusatzaufgabe.
Hast du konkrete Daten für eine Rechnung ?
LG Al-Chwarizmi
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Hallo Al-Chwarizmi,
vielen Dank für Deinen Hinweis. Die Idee, die Rotation der Geraden durch eine Hyperboloidfläche darzustellen scheint mir in die richtige Richtung zu führen. Allerdings bin ich bereits beim erstellen der Flächengleichung gestrandet.
Zuerst stelle ich die Rotation der Geraden g um die Z-Achse dar
[mm] \vec{X} = T*(\vec{P}+t*\vec{d}) = \begin{bmatrix}\cos{\phi} & -\sin{\phi} & 0 \\ \sin{\phi} & \cos{\phi} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix}P_x + t * d_x \\ P_y + t * d_y \\ P_z + t * d_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (P_x + t * d_x)*\cos{\phi} - (P_y + t * d_y)*\sin{\phi} \\ (P_x + t * d_x)*\sin{\phi} + (P_y + t * d_y)*\cos{\phi} \\ P_z + t * d_z\end{bmatrix} [/mm]
Auf dieser Basis möchte ich nun von der Parameterform in die Koordinatenform wechseln und erhalte nach einigen Umformungen:
[mm] x^2 + y^2 = t^2*(d_x^2+d_y^2) + 2t*(P_x d_x + P_y d_y) + P_x^2 + P_y^2 [/mm]
Und schliesslich durch einsetzen von [mm] t = \frac{z-P_z}{d_z} [/mm] komme ich auf folgenden Ausdruck:
[mm] x^2 + y^2 = (z-P_z)^2*\frac{d_x^2+d_y^2}{d_z^2} + 2*(z-P_z)*\frac{P_x d_x + P_y d_y}{d_z} + P_x^2 + P_y^2 [/mm]
Diese Gleichung scheint von der Form [mm] x^2 + y^2 = a*(z-z_0)^2 + b*(z-z_0) + c [/mm] zu sein! Handelt es sich dabei tatsächlich um die gesuchte Hyperboloidfläche?
Irgendwie stehe ich auch an mit dem Gedanken, wie der Kreis k: [mm] \vec{X} = \vec{M} + r*\begin{bmatrix}\vec{u} & \vec{v} \end{bmatrix}*\begin{bmatrix}\cos{s} \\ \sin{s} \end{bmatrix} [/mm] mit der Fläche geschnitten werden soll. Ich habe einmal die Kreisgleichung parameterweise in der Flächengleichung eingesetzt was mir einen wenig versprechenden, vierzeiligen Riesenterm bescherte. Es scheint jedoch tatsächlich die erwartete quadratische Gleichung für s zu sein. Denkst Du, auf diesem Weg komme ich weiter?
Vielen Dank für Deine Hilfe
Herzliche Grüsse
kernel2000
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Do 17.11.2011 | | Autor: | Kernel2000 |
Hallo, ich noch einmal...
du, hast noch nach nummerischen Werten gefragt. Grundsätzlich ist mein Ziel, die Aufgabe rein analytisch zu lösen, da daraus ein Computerprogramm entstehen soll, das mir dieses Problem automatisch löst.
Zur Veranschaulichung der ganzen Sache, habe ich mir in einem Geometrieprogramm (Archimedes 3d) folgenden Versuchsaufbau zusammengesetzt:
Kreis:
[mm] M = \vektor{3 \\ 2 \\ 3} [/mm]
[mm] r = 3 [/mm]
[mm] U = \vektor{4 \\ 4 \\ 3} \Rightarrow \vec{u} = \frac{U-M}{|U-M|} = \vektor{ 0.44721 \\ 0.89443 \\ 0 } [/mm]
[mm] V = \vektor{3 \\ 2 \\ 5} \Rightarrow \vec{v} = \frac{V-M}{|V-M|} = \vektor{ 0 \\ 0 \\ 1 } [/mm]
Somit [mm] k: \vec{x} = \vektor{3 \\ 2 \\ 3} + r*\cos{s}*\vektor{ 0.44721 \\ 0.89443 \\ 0 } + r*\sin{s}*\vektor{ 0 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
Gerade:
[mm] P = \vektor{1 \\ -1 \\ 5} [/mm]
[mm] Q = \vektor{-1 \\ 8 \\ 0 } [/mm]
[mm] \vec{d} = \frac{Q-P}{|Q-P|} = \vektor{-0.19069 \\ 0.85812 \\ -0.47673} [/mm]
Somit [mm] g: \vec{x} = \vektor{1 \\ -1 \\ 5} + t*\vektor{-0.19069 \\ 0.85812 \\ -0.47673} [/mm]
Die Lösung für den gesuchten Schnittpunkt müssen etwa in folgender Grössenordnung liegen:
t = 8
s = -38°
[mm] \phi [/mm] = 50°
Herzliche Grüsse
kernel2000
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Hallo Al-Chwarizmi,
hab' mir die Sache mit der Hyperboloidfläche noch einmal angeschaut und habe nun raus, wie ich die Gleichung
[mm] x^2+y^2 = a*(z-d)^2+b*(z-d) + c [/mm] in die gewünschte Form bringe.
Durch eine quadratische Ergänzung der rechten Gleichungsseite um [mm] \frac{b^2}{a^2} [/mm] lässt sich die Geleichung wiefolgt umformen:
[mm] \frac{x^2+y^2}{c-\frac{b^2}{a}} - \frac{(z-d+\frac{b}{a})^2}{\frac{c}{a}-(\frac{b}{a})^2} = 1[/mm]
man setze: [mm] A = c-\frac{b^2}{a} [/mm] und B = [mm] \frac{c}{a}-(\frac{b}{a})^2 [/mm] [/mm] und [mm] z_0 = d-\frac{b}{a} [/mm] so erhält man:
[mm] \frac{x^2+y^2}{A} - \frac{(z-z_0)^2}{B} = 1 [/mm]
Somit blicke ich nun durch, wie ich aus einer beliebigen Geraden und der Rotationsmatrize die kartesische Gleichung für die Hyperboloidfläche erhalte. Allerdings habe ich schon mehrmals vergeblich versucht, den Kreis mit eben dieser Fläche zu schneiden. Das ganze endet jedes mal in einem endlosen Term mit [mm] \sin^2, \cos^2, \sin, \cos [/mm] und [mm] \sin \cos [/mm] dessen Lösung mir ein Rätsel ist. Hast du da irgend eine spezielle Vorgehensweise?
Vielen Dank für Deine Hilfe
Herzliche Grüsse
Kernel2000
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> Hallo Al-Chwarizmi,
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> hab' mir die Sache mit der Hyperboloidfläche noch einmal
> angeschaut und habe nun raus, wie ich die Gleichung
> [mm]x^2+y^2 = a*(z-d)^2+b*(z-d) + c[/mm] in die gewünschte Form
> bringe.
> Durch eine quadratische Ergänzung der rechten
> Gleichungsseite um [mm]\frac{b^2}{a^2}[/mm] lässt sich die
> Geleichung wiefolgt umformen:
> [mm]\frac{x^2+y^2}{c-\frac{b^2}{a}} - \frac{(z-d+\frac{b}{a})^2}{\frac{c}{a}-(\frac{b}{a})^2} = 1[/mm]
>
> man setze: [mm]A = c-\frac{b^2}{a}[/mm] und B =
> [mm]\frac{c}{a}-(\frac{b}{a})^2[/mm][/mm] und [mm]z_0 = d-\frac{b}{a}[/mm] so
> erhält man:
>
> [mm]\frac{x^2+y^2}{A} - \frac{(z-z_0)^2}{B} = 1[/mm]
>
> Somit blicke ich nun durch, wie ich aus einer beliebigen
> Geraden und der Rotationsmatrix die kartesische Gleichung
> für die Hyperboloidfläche erhalte.
Übrigens: A ist der kleinste Abstand zwischen Gerade und
z-Achse und [mm] z_0 [/mm] die z-Koordinate dieser (zur x-y-Ebene
parallelen) kürzesten Transversale !
Daraus ergäbe sich vielleicht eine einfache Berechnungs-
methode für A, [mm] z_0 [/mm] und B.
> Allerdings habe ich
> schon mehrmals vergeblich versucht, den Kreis mit eben
> dieser Fläche zu schneiden. Das ganze endet jedes mal in
> einem endlosen Term mit [mm]\sin^2, \cos^2, \sin, \cos[/mm] und [mm]\sin \cos[/mm]
> dessen Lösung mir ein Rätsel ist. Hast du da irgend eine
> spezielle Vorgehensweise?
Na, dazu habe ich halt einfach den CAS-Rechner einge-
setzt, in der Annahme, dass dies halt nur noch eine
eher langweilige Rechnung ist ... Diesen Teil in voller
Allgemeinheit durchzuziehen wäre wohl eher mühsam
und nicht unbedingt erhellend !
> Vielen Dank für Deine Hilfe
gern geschehen
LG Al-Chw.
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> Allerdings habe ich
> schon mehrmals vergeblich versucht, den Kreis mit eben
> dieser Fläche zu schneiden. Das ganze endet jedes mal in
> einem endlosen Term mit [mm]\sin^2, \cos^2, \sin, \cos[/mm] und [mm]\sin \cos[/mm]
> dessen Lösung mir ein Rätsel ist. Hast du da irgend eine
> spezielle Vorgehensweise?
Die Gleichung hat die Form
[mm] K*s^2+L*c^2+M*s*c+N*s+O*c+P=0
[/mm]
wobei s=sin(t) und c=cos(t).
Mittels der Gleichung [mm] s^2+c^2=1 [/mm] kann man dann z.B.
s eliminieren und erhält eine Gleichung für c. Die ist
aber je nach Geschmack nicht allzu lecker ...
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Fr 02.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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