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Forum "Integralrechnung" - Rotation um y-Achse...
Rotation um y-Achse... < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Rotation um y-Achse...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:29 Fr 09.11.2018
Autor: hase-hh

Aufgabe
Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers mit

f(x) = 3x -2

bei Drehung um die y-Achse im Intervall y=1 bis y = 4.

Moin Moin,

zunächst bilde ich die Umkehrfunktion zu

f(x) = 3x - 2

x = 3y -2  

y = [mm] \bruch{1}{3}x [/mm] + [mm] \bruch{2}{3} [/mm]


aus  [mm] \pi*\integral_{1}^{4}{f(x)^2 dy} [/mm]

wird dann  [mm] \pi*\integral_{f(a)}^{f(b)}{y^2 dx} [/mm]


Die Grenzen würde ich dann so berechnen

f(1) = 3*1 -2 = 1

f(4) = 3*4 - 2 = 10

Leider scheint mir das nicht zu stimmen, da nach meiner Skizze, eine deutlich größere Fläche um die x-Achse rotiert, als um die y-Achse.


Wo ist da der Denkfehler?


Danke und Gruß!







        
Bezug
Rotation um y-Achse...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:41 Fr 09.11.2018
Autor: HJKweseleit


> Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers mit
>
> f(x) = 3x -2
>
> bei Drehung um die y-Achse im Intervall y=1 bis y = 4.


Du kannst hier von Anfang an um die y-Achse rotieren lassen oder - wie du es vorhast - x- und y-Achsen vertauschen und die Umkehrfunktion nehmen.


Zur ersten Alternative: Statt wie bisher [mm] V=\pi \integral_{x_a}^{x_b}{(f(x))^2 dx} [/mm] zu bilden, gehst du über zu [mm] V=\pi \integral_{y_a}^{y_b}{x^2 dy} [/mm]  mit x = [mm] \bruch{1}{3}y [/mm] + [mm] \bruch{2}{3} [/mm]  (keine Umkehrfunktion, nur umstellen nach x!)

Du musst also x noch quadrieren und für die Grenzen 1 und 4 einsetzen.

Nun zu deinem Weg:


>  Moin Moin,
>  
> zunächst bilde ich die Umkehrfunktion zu
>
> f(x) = 3x - 2
>  
> x = 3y -2  
>
> y = [mm]\bruch{1}{3}x[/mm] + [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>  
>
> aus  [mm]\pi*\integral_{1}^{4}{f(x)^2 dy}[/mm]
>  
> wird dann  [mm]\pi*\integral_{f(a)}^{f(b)}{y^2 dx}[/mm]

Nicht ganz! Was du machst, ist keine Substitution , sondern eine Vertauschen von x- und y-Werten. Damit werden die vorhergehenden y-Grenzen nun zu x-Grenzen, also beibehalten:

V= [mm] \pi*\integral_{a}^{b}{y^2 dx} =\pi*\integral_{1}^{4}{(\bruch{1}{3}x + \bruch{2}{3})^2 dx} [/mm] und damit bekommst du genau mein obiges Integral, nur, dass die Buchstaben x und y gegeneinander vertauscht sind. Der Zahlenwert ist aber dann derselbe.


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