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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:31 So 04.02.2007 | | Autor: | Paul85 |
| Aufgabe | Skizzieren sie den Querschnitt durch die folgenden Berandungsfunktionen bei 360 Grad Drehung um die X-Achse enstehenden Rotationskörpers und berechnen sie den jeweiligen Rauminhalt.
a) [mm] f:[0,\pi]: \Rightarrow [/mm] R,x [mm] \Rightarrow f(x)=\sin [/mm] x |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
mir ist ansich alles klar bloß ich komm nicht auf die passende Lösung.
Also wenn ich die Funktion integriere dann hab ich 0,086 bzw. in radiant 114,592 was ich eher glaube da das intervall ja von 0 bis pi gewählt wurde.
Aber was mach denn jetzt mit der zahl.
als Ergebnis soll [mm] \pi^{2}/2 [/mm] rauskommen.
Ich komm einfach nicht auf das ergebnis hab auch schon vergeblich nach Lösungsansätzen in diesem Forum gesucht. Ich bin nie auf das Ergebnis gekommen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:39 So 04.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Paul,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Was genau hast Du denn gerechnet, um auf Deine genannten Ergebnisse zu kommen? Denn dieses Ergebnis muss ja auch völlig unabhängig sein von Bogen- oder Gradmaß.
Gesucht ist hier ja das Rotatationsvolumen einer Funktion um die x-Achse. Dieses berechnet sich nach folgender Formel:
[mm] $V_x [/mm] \ = \ [mm] \pi*\integral_{x_1}^{x_2}{y^2 \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \pi*\integral_{0}^{\pi}{\sin^2(x) \ dx}$
[/mm]
Dieses Integral löst man im ersten Schritt mittels partieller Integration mit dem Ansatz: [mm] $\sin^2(x) [/mm] \ = \ [mm] \sin(x)*\sin(x)$ [/mm] ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:43 So 04.02.2007 | | Autor: | Paul85 |
ich muss gestehen ich habs innen Voyage 200 eingegeben.
Also ich hab raus wenn ich das integriere:
[mm] \bruch{180}{\pi} [/mm] - [mm] \bruch{180-cos(\pi)}{\pi}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:46 So 04.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Paul!
Das ist aber ausgekochter Blödsinn (![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") ), der da herausgekommen ist. Das solltest Du dann doch mal lieber zu Fuß rechnen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:05 So 04.02.2007 | | Autor: | Paul85 |
kommt für sin [mm] x^{2} [/mm] nach dem integrieren dann cos [mm] x^{2} [/mm] +c raus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:14 So 04.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Paul!
Zum einen bedeutet [mm] $\sin^2(x) [/mm] \ = \ [mm] [\sin(x)]^2 [/mm] \ = \ [mm] \sin(x)*\sin(x)$ [/mm] .
Und Deine genannte (vermeintliche) Stammfunktion ist auch falsch. Du musst schon - wie oben angedeutet - mittels partieller Integration vorgehen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:37 So 04.02.2007 | | Autor: | Paul85 |
tut mir leid ich habs jetzt aber endlich raus hatte doch was mit radiant zu tun.
ich habs nochmal ohne integrationsgrenzen in den voyage eingegeben und da bkomm ich folgendes raus:
[mm] \bruch{x}{2}-\bruch{90*sin(x)*cos(x)}{\pi}
[/mm]
und da der sinus von pi bei radiant 0 ist fällt der rechte teil weg genauso auch bei 0. Deswegen bleibt [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] übrig und wenn man das mal pi nimmt kommt man auf das ergebnis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:50 So 04.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Paul!
Ich weiß partout nicht, woher bei Dir sowohl der Faktor $90_$ als auch im Nenner der Wert [mm] $\pi$ [/mm] herkommen. Denn bei der Ermittlung des unbestimmten Integrales geht Bogen- oder Gradmaß in keinster Weise ein.
Die gesuchte Stammfunktion zu [mm] $\sin^2(x)$ [/mm] lautet: [mm] $\integral{\sin^2(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{\sin(x)*\cos(x)}{\red{2}}+\bruch{x}{2}+C$
[/mm]
Aber Du hast Recht: durch Einsetzen der genannten Grenzen wird der 1. Bruch jeweils gleich Null.
Damit erhalten wir also: [mm] $V_x [/mm] \ = \ [mm] \pi*\integral_{0}^{\pi}{\sin^2(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \pi*\left[-\bruch{\sin(x)*\cos(x)}{2}+\bruch{x}{2}\right]_0^{\pi} [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \pi*\bruch{\pi}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi^2}{2}$
[/mm]
Voilà ... das gewünschte Ergebnis.
Gruß
Loddar
PS: ich empfehle auch dringend, derartige Integrale per Hand auszurechnen und nicht nur in irgendeinen Rechner einzutippen. Wie Du siehst, kommt da nicht selten auch Unfug heraus ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:02 So 04.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Paul!
> [mm]\bruch{x}{2}-\bruch{90*sin(x)*cos(x)}{\pi}[/mm]
Hast Du den Rechner hier gerade auf Gradmaß eingestellt und [mm] $\bruch{90\red{°}}{\pi} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{90°}{2*\bruch{\pi}{2}}$ [/mm] soll eine Art Umrechnungsfaktor von Gradmaß in Bogenmaß sein?
Dann schmeiße den Rechner weg, das ist ja mathematisches Schwerverbrechen bis grauenhaft!!
Gruß
Loddar
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