Rotationskörper < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Excel |
| Aufgabe | Hi,
ich hab da ein Problem bei einer Aufgabe. Ich hab nicht mal ne Idee wie ich anfangen könnte. Könnt ihr mir bitte helfen?
Vielen Dank im Vorraus |
Aufgabe:
Die Graphen von f(x)= [mm] ln(2,25x^2+9) [/mm] und g(x)= [mm] ln(2,35x^2+5,4) [/mm] und die Gerade y= ln45 begrenzen eine Fläche. Lässt man diese Fläche um die y-Achse rotieren, so entsteht eine Schale. Zeigen Sie, dass eine solche Schale, aus Kristallglas gefertigt, fast 20kg wiegt. [mm] (1cm^3 [/mm] Kristallglas wiegt 2,6g. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1dm in der Wirklichkeit)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Mi 13.02.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hier bilde mal jeweils die Umkehrfunktionen, berechne davon die Differenzfunktion und lasse das ganze mal um die x-Achse rotieren.
Hierfür gibt es ja die Formel: [mm] V=\pi\integral{(f(x))²dx}
[/mm]
Über die Dichte kannst du dann die Masse des Körpers bestimmen
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Excel |
Danke für den Hinweis, aber wie mach ich denn die Umkehrfunktion wenn da ln dabeisteht?? Da verwirrt mich.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Mi 13.02.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
y= ln45
hat die "Umkerung"
[mm] x=e^{45}
[/mm]
Bei
y=ln(2,25x{2}+9)
musst du erstmal nach x auflösen
[mm] y=ln(2,25x^{2}+9)
[/mm]
[mm] \gdw e^{y}=2,25x²+9
[/mm]
[mm] \gdw x²=\bruchz{e^{y}-9}{2,25}
[/mm]
[mm] \gdw x=\wurzel{\bruch{e^{y}-9}{2,25}}
[/mm]
Also ist die Umkehrfunktion: [mm] y=\wurzel{\bruch{e^{x}-9}{2,25}}
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Excel |
Vielen Dank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Excel |
Von welchen beiden Funktionen muss ich jetzt die Differenzfunktion bilden? Das hab ich nicht so verstanden.
|
|
|
| |
|
Hey, da du die Differenzfunktion ja quadrieren musst, ist es egal ob du $f(x)-g(x)$ oder $g(x)-f(x)$ rechnest. Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Excel |
danke.
Ich hab jetzt versucht g(x)-f(x) zu rechnen und das kam heraus.
[mm] y^2=\bruch{e^{x}-5,4}{2,35}-\bruch{e^{x}-9}{2,25}
[/mm]
[mm] =\bruch{e^x}{2,35}-\bruch{5,4}{2,35}-(\bruch{e^x}{2,25}-\bruch{9}{2,25} [/mm] )
[mm] =\bruch{2,25e^x}{5,2875}-\bruch{12,15}{5,2875}-(\bruch{2,35e^x}{5,2875}-\bruch{21,15}{5,2875})
[/mm]
[mm] =\bruch{-0,1e^x}{5,2875}+\bruch{9}{5,2875}
[/mm]
[mm] =\wurzel{\bruch{-0,1e^x+9}{5,2875}}
[/mm]
Stimmt das so????
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Mi 13.02.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Sieht gut aus.
Und jetzt:
[mm] V=\pi*\integral_{a}^{b}\left(\wurzel{\bruch{-0,1e^x+9}{5,2875}}\right)^{2}dx
[/mm]
Die Integrationsgrenzen musst du noch bestimmen, mach dir dazu mal am besten eine Skizze, dann siehst du sie.
Marius
|
|
|
|
