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| Aufgabe | Herleitung der Formel für den Rauminhalt eines Rotationskörpers (wenn man die von der auf dem Intervall [a;b] stetigen Funktion mit der x-Achse eingeschlossene Fläche um die x-Achse rotieren lässt):
[mm] V=\pi \cdot \integral_{a}^{b}{f(x)^2 dx} [/mm] |
Hallo!
Hierbei handelt es sich um keine spezielle Aufgabe, sondern ich habe versucht, mich mit dem Thema auseinanderzusetzen, aber irgendwie verstehe ich einen Schritt der Herleitung nicht (vielleicht fehlt mir da einfach ein zwischenschritt zum Verständnis), und zwar:
[a;b] wird in n Teilintervalle gleicher Länge h eingeteilt.
Zu jedem Teilintervall gibt es einen Zylinder, der den Rotationskörper K von außen, und einen, der K von innen berührt.
Man erhält die Zerlegungssumme [mm] V_n= \pi \cdot (f(x_1)^2) \cdot h+\pi \cdot (f(x_2)^2) \cdot h+\pi \cdot (f(x_3)^2) \cdot h+...+\pi \cdot (f(x_n)^2) \cdot [/mm] h
Soweit ist mir das klar. h soll die Länge von [mm] \Delta [/mm] x sein, oder? Was ich nicht verstehe ist: Wenn ich die Summe gegen unendlich laufen lasse, also n [mm] \to \infty, [/mm] dann strebt [mm] V_n [/mm] gegen [mm] \pi \cdot \integral_{a}^{b}{f(x)^2 dx}.
[/mm]
Warum? Ich denke irgendwie die ganze Zeit, dass ja h dann gegen 0 strebt und damit wird doch mein ganzes Ergebnis null...Wie komme ich auf das Integral und wo ist mein Denkfehler?
Würde mich über eine Antwort sehr freuen!
Liebe Grüße :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:02 Do 17.09.2009 | | Autor: | cycore |
hallo,
> Herleitung der Formel für den Rauminhalt eines
> Rotationskörpers (wenn man die von der auf dem Intervall
> [a;b] stetigen Funktion mit der x-Achse eingeschlossene
> Fläche um die x-Achse rotieren lässt):
> [mm]V=\pi \cdot \integral_{a}^{b}{f(x)^2 dx}[/mm]
> Hallo!
> Hierbei handelt es sich um keine spezielle Aufgabe,
> sondern ich habe versucht, mich mit dem Thema
> auseinanderzusetzen, aber irgendwie verstehe ich einen
> Schritt der Herleitung nicht (vielleicht fehlt mir da
> einfach ein zwischenschritt zum Verständnis), und zwar:
> [a;b] wird in n Teilintervalle gleicher Länge h
> eingeteilt.
> Zu jedem Teilintervall gibt es einen Zylinder, der den
> Rotationskörper K von außen, und einen, der K von innen
> berührt.
> Man erhält die Zerlegungssumme [mm]V_n= \pi \cdot (f(x_1)^2) \cdot h+\pi \cdot (f(x_2)^2) \cdot h+\pi \cdot (f(x_3)^2) \cdot h+...+\pi \cdot (f(x_n)^2) \cdot[/mm]
> h
> Soweit ist mir das klar. h soll die Länge von [mm]\Delta[/mm] x
> sein, oder?
jap..und das wird später (symbolisch) zu dem dx
> Was ich nicht verstehe ist: Wenn ich die Summe
> gegen unendlich laufen lasse, also n [mm]\to \infty,[/mm] dann
> strebt [mm]V_n[/mm] gegen [mm]\pi \cdot \integral_{a}^{b}{f(x)^2 dx}.[/mm]
>
> Warum? Ich denke irgendwie die ganze Zeit, dass ja h dann
> gegen 0 strebt und damit wird doch mein ganzes Ergebnis
> null...Wie komme ich auf das Integral und wo ist mein
> Denkfehler?
Ja, h geht gegen 0...aber was passiert mit der summe?
im Normalfall geht die nämlich auch gegen [mm] \pm \infty [/mm] ^^
(also wenn nich wird das integral halt 0)..und das hebt sich dann (im falle der existenz des integrals) auf...
Die Herleitung benutzt die folgende Definition des integrals..wenn man die kennt siehts eben ganz logisch aus:
(sei [mm] h=\bruch{b-a}{n} [/mm] und [mm] x_{i}=a+ih [/mm] , also so definiert wie bei dir)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n} f(x_{i})h=:\integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
> Würde mich über eine Antwort sehr freuen!
> Liebe Grüße :)
>
Hoffe das hilft dir :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
P.S.: Eigentlich kann man sich das zum verständnis auch anders herleiten...schau mal...so ein rotationskörper ist ja quasi eine aneinanderreihung von kreisen die allesamt je nach x-wert die funktionswerte berühren...und das Kreisvolumen ist ja bekanntlich [mm] \pi r^2 [/mm] ..oder in dem fall [mm] \pi f(x)^2 [/mm] ...und wenn du darüber das integral bildest bekommst du also das volumen des gesamten körpers im intervall...vielleicht hilft dir das ja ein bisschen..schau dir mal bilder dazu an..
lg
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