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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Sa 25.06.2005 | | Autor: | Quaoar |
Hallo,
ich sitze an folgender Aufgabe fest:
Lässt man den Graphen der Funktion f(x) = [mm] \bruch{2 + ln(x)}{x}
[/mm]
im Intervall [mm] [e^{-2};h] [/mm] um die x-Achse rotieren, so entsteht ein Rotationskörper, der einer Rotweinkaraffeähnelt.
MAn kann jetzt das Volumen derKaraffe in Abhängigkeit zur Füllhöhe h berechnen. Möchte man zu einem gegebenen Volumen V dieser "Karaffe" die Füllhöhe h bestimmen, so gelangt man nach einigen Umformungsschritten zu folgender Gleichung:
[mm] z^{2}+6z+10=(\bruch{-V}{\pi}+14,78)e^{z} [/mm] (mit z = ln(h))
Erläutern Sie, wie man nährungsweise für z eine Lösung bestimmen könnte. Begründen Sie, dass es nicht für jeden Wert von V eine Lösung geben kann.
Ich weis wie der Graph dieser Funktion aussieht und kann mir auch die Karaffe vorstelln. Außerdem kenn ich noch die Formel für Rotationskörper:
V = [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{a}^{b} {(f(x))^{2} dx}
[/mm]
Die Gleichung in meinem Fall müsste dann lauten:
V = [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{e^{-2}}^{h} {(\bruch{2 + ln(x)}{x})^{2} dx}
[/mm]
Aber bring mir das überhaupt was?
Wer kann mir helfen?
Alex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, Alex,
> V = [mm]\pi[/mm] * [mm]\integral_{a}^{b} {(f(x))^{2} dx}[/mm]
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> Die Gleichung in meinem Fall müsste dann lauten:
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> V = [mm]\pi[/mm] * [mm]\integral_{e^{-2}}^{h} {(\bruch{2 + ln(x)}{x})^{2} dx}[/mm]
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> Aber bring mir das überhaupt was?
Naja: Ausrechnen musst Du das Integral schon!
Vorher würd' ich die Integrandenfunktion aber ausmultiplizieren (binomische Formel!) und dann Summand für Summand integrieren:
[mm] \integral{\bruch{4 + 4ln(x) + (ln(x))^{2}}{x^{2}} dx}
[/mm]
= [mm] \integral{(\bruch{4}{x^{2}} + 4\bruch{ln(x)}{x^{2}} + \bruch{(ln(x))^{2}}{x^{2}}) dx}
[/mm]
Der erste Teil ist leicht, die beiden anderen Integrale musst Du mit partieller Integration oder Substituition lösen.
Nach Einsetzen der Grenzen müsstest Du auf die anfangs gegebene Gleichung kommen.
Die näherungsweise Lösung wird man wohl jeweils mit dem Newton-Verfahren bestimmen.
Dass es nicht für jeden Wert von V eine Lösung geben kann, erkennt man daran, dass die linke Seite keine reellen Nullstellen für z aufweist, somit immer positiv ist, die rechte Seite aber negativ werden kann, sofern man V nur groß genug wählt.
Noch Fragen?
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