Rotationskörper\Guldinische R. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie die Guldinische Regel: Sei F:={(x,z) [mm] \in \IR, [/mm] x [mm] \in [/mm] [a,b], [mm] 0\le [/mm] z [mm] \le [/mm] f(x)} und (s,t) der Schwerpunkt von F, so gilt:
[mm] v_3(V)=2*\pi*t*v_2(F). [/mm] |
hallo,
ich habe leider (noch) keine Idee wie ich mit dem Beweis anfange.
Aber vielleicht könnt ihr mir einen Tipp geben, wäre super.
der term [mm] 2\pi*t [/mm] beschreib einen kreisumfang um die schwerpunktskoordinate (s,t) mit dem radius s
[mm] v_2(F) [/mm] könnt ich durch ein Integral [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] darstellen
wir können benutzen, dass für das Volumen eines Rotationskörpers gilt:
[mm] v_3(V)=\pi \integral_{a}^{b}{f(x)^2 dx}
[/mm]
und der Schwerpunkt s [mm] \in \IR^n [/mm] definiert ist durch:
[mm] s_i=\bruch{1}{v_n(K)}\integral_K{x_i dx}, [/mm] i=1,...,n
soll ich das integral [mm] \pi \integral_{a}^{b}{f(x)^2 dx} [/mm] so aufbröseln,dass
daraus die guld. reg. folgt?
gruß
richard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:34 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
ich präsentiere mal die "Lösung für den Hausgebrauch, vom Physiker".
Vielleicht hilft dir das bei einer mathematisch exakten Formulierung.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Bezüglich einer Achse t hat ein Flächenelement $ [mm] \Delta x*\Delta [/mm] y $ das Drehmoment (Drehmoment = Kraft [mm] \times [/mm] Kraftarm) $ [mm] \Delta [/mm] M = [mm] (\Delta x*\Delta [/mm] y) [mm] \times [/mm] (y-t) $.
t ist Schwerpunktachse, wenn die Summe aller Drehmomente = 0 ist.
Damit t Schwerpunktachse ist, muss also
[mm] \integral_{a}^{b}{\integral_{0}^{f(x)}{(y-t) dy} dx} [/mm] = 0
sein.
Diese Gleichung ist nach t aufzulösen :
[mm] \integral_{a}^{b}{[\bruch{1}{2}y^2-ty]_0^{f(x)} dx} [/mm] = 0
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx} [/mm] = [mm] t*\integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
Multiplikation dieser Gleichung mit [mm] 2\pi [/mm] ergibt das Ergebnis
"Volumen = Weglänge des Schwerpunktes [mm] \times [/mm] Fläche"
Gruß Sax.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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hallo sax,
vielen Dank für deine Hilfe!
gruß
richard
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