Rotationskörper Volumen max < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:34 So 09.10.2005 | | Autor: | crack |
Hallo,
bin bei folgender Aufgabe leider etwas überfragt:
gegeben 2 Funktionen
f(x)= [mm] \bruch{1}{4} e^{x} [/mm] - 2 [mm] e^{-x}
[/mm]
g(x)=2 [mm] e^{-x}
[/mm]
Der Punkt (u/v) mit u>0 auf dem Schaubild von g bestimmt zusammen mit den Punkten 0 (0/0), q (u/0), r (0/v) ein Viereck. Durch Rotation um die x-Achse entsteht ein Drehkörper.
Für welchen Wert u wird das Volumen dieses Körpers extremal?
Art des Extremums und Wert?
Vielen Dank schonma im vorraus :)
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Hallo,
also zunächst mal ist mir nicht so ganz klar, inwiefern die Funktion f dabei eine Rolle spielt. Wenn es also tatsächlich nur um g geht, dann ist das doch relativ klar. Wenn ein Viereck rotiert, dann entsteht... und dann ist das nur noch ein klassisches Extremalproblem:
Hauptbedingung und Nebenbedingung aufschreiben und u ausrechnen.
Versuch's mal. Kannst ja mal deine Ansätze präsentieren.
VG mathmetzsch
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 So 09.10.2005 | | Autor: | crack |
richtig aber wie löse ich so ein extremalproblem....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 So 09.10.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo crack,
Hast du wirklich gar keine Vorstellung? Schreibe bitte immer deine eigenen Überlegungen mit auf.
Hier ein paar Tips zur Lösung:
Zuerst mache dir klar, was für ein Rotationskörper bei Drehung eines Rechtecks entsteht.
Dann versuchst du die Größen, die den Körper beschreiben, durch u und v auszudrücken. Wenn du dir den Körper vorstellen kannst, ist das nicht schwer, wenn nicht, dann melde dich noch mal. Wenn du jetzt noch berücksichtigst, dass v=g(u) , schaffst du wahrscheinlich die Zielfunktion alleine.
Gruß Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 So 09.10.2005 | | Autor: | crack |
erstmal danke...
also vorstellung is ja kein problem, is ein zylinder
desshalb ergibt sich dann auch die formel V=(g(u))² u [mm] \pi
[/mm]
aber wie finde ich jetz raus wo das V am größten is...
der graph g is ja ne kurve mit assymptote an x-achse
entweder wird also u größer und g(u) kleiner oder umgekehrt....
aber wo ist es jetz am größten????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 So 09.10.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Crack,
> erstmal danke...
>
> also vorstellung is ja kein problem, is ein zylinder
>
> desshalb ergibt sich dann auch die formel V=(g(u))² u [mm]\pi[/mm]
>
> aber wie finde ich jetz raus wo das V am größten is...
>
> der graph g is ja ne kurve mit assymptote an x-achse
>
> entweder wird also u größer und g(u) kleiner oder
> umgekehrt....
>
> aber wo ist es jetz am größten????
Die Funktion
[mm] V(u) = g(u)^2 \cdot u \cdot \pi [/mm]
[mm] = 4 \pi \cdot \cdot u \cdot e^{-2u} [/mm]
Jetzt musst du, was du sicher weißt, die Ableitung bilden
(Ergebnis, wenn ich mich nicht verrechnet habe):
[mm] V'(u) = 4 \pi (-2\cdot e^{-2u} + u \cdot e^{-2u}) [/mm]
Diese Funktion V' hat eine Nullstelle, also kann es ein Maximum geben. Das musst du halt noch überprüfen.
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Mo 10.10.2005 | | Autor: | crack |
beim Ableiten komme ich mit der Produktregel allerdings auf die Funktion
[mm] V'(u)=4\pi(e^{-2u}-2ue^{-2u}
[/mm]
stimmt das?
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Hi, crack,
> beim Ableiten komme ich mit der Produktregel allerdings auf
> die Funktion
>
> [mm]V'(u)=4\pi(e^{-2u}-2ue^{-2u}[/mm]
>
> stimmt das?
Ja! Das stimmt!
Und nun musst Du diese Ableitung =0 setzen:
[mm] 4\pi(e^{-2u}-2ue^{-2u}) [/mm] = 0 | : [mm] (4\pi)
[/mm]
[mm] e^{-2u}*(1 [/mm] - 2u) = 0
Da [mm] e^{-2u} \not= [/mm] 0 folgt:
1 - 2u = 0
Und daher: u = 0,5
Nun musst Du noch nachprüfen, ob sich hieraus ein Maximum oder ein Minimum ergibt!
mfG!
Zwerglein
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