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Forum "Integralrechnung" - Rotationskörpervolumen
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Rotationskörpervolumen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:12 Mi 19.02.2020
Autor: Mathe-Lily

Aufgabe 1
1.
Durch Rotation der Graphen von f mit [mm] f(x)=\wurzel{x} [/mm] und g mit [mm] g(x)=\wurzel{x-0,5} [/mm] um die x-Achse entsteht der Glaskörper eines Sektglases (ohne Stiel, 1 LE entspricht 1 cm).
a) Wie viel Sekt passt in das Glas wenn es maximal voll ist?
b) Welches Volumen hat das zur Herstellung benötigte Glas?
(Bild, auf dem die beiden Funktionen zu sehen sind und auch die Nullstellen:
[mm] x_{f}=0, x_{g}=0,5; [/mm] Ende des Intervalls: x=8)

Aufgabe 2
2.
Die Fläche zwischen den Graphen von f und g mit f(x)=0,5x+1 und [mm] g(x)=-0,5x^2+2x+1 [/mm] rotiert um die x-Achse. Entnehmen Sie die Schnittpunkte der Graphen von f und g der Grafik und berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers.
(in der Grafik sieht man, dass sich die Funktionen bei 0 und 3 schneiden)

Hallo!

Ich habe auch die Lösungen zu den Aufgaben:
1.
a) Das gesuchte Volumen entspricht dem Volumen des Rotationsköroers, der bei Rotation der zum Graphen g gehörenden Fläche über [0,5;8] entsteht.
[mm] V_{g}=\pi \integral_{0,5}^{8}{(\wurzel{x-0,5})^2 dx}=28,125 \pi [/mm]
Man kann maximal ca. 88ml Sekt einfüllen.
b) [mm] V_{g} [/mm] sie das Volumen des Körpers, der bei Rotation der zu g gehörenden Fläche entsteht; [mm] V_{f} [/mm] sie das Volumen des Körpers, der bei Rotation der zu f gehörenden Fläche entsteht. Für das gesuchte Volumen V gilt dann: [mm] V=V_{f}-V_{g}. [/mm]
[mm] V_{f}=\pi \integral_{0}^{8}{(\wurzel{x})^2 dx}= [/mm] 32 [mm] \pi [/mm]
[mm] V_{g}=28,125 \pi [/mm] (aus a))
[mm] V=V_{f}-V_{g}=8,875 \pi [/mm] = 12,17
Das Glasvolumen beträgt etwa [mm] 12cm^3. [/mm]

2.
[mm] V=\pi \integral_{0}^{3}{(-0,5x^2+1,5x)^2 dx}=2,025 \pi [/mm]

Meine Frage jetzt: Wie soll man nun das Volumen des Rotationskörpers zwischen zwei rotierenden Funktionen berechnen:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x)^2-g(x)^2 dx} [/mm]
oder
[mm] \integral_{a}^{b}{(f(x)-g(x))^2 dx} [/mm]
?

Bei 1. wird das 1. angewendet, bei 2. das 2., das macht für mich keinen Sinn.
Kann mir jemand helfen?

Liebe Grüße,
Lily


        
Bezug
Rotationskörpervolumen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:56 Mi 19.02.2020
Autor: chrisno


> ..  
>  [mm]\integral_{a}^{b}{(f(x)-g(x))^2 dx}[/mm]
>  

Dies ist falsch. Es müssen zuerst die einzelnen Volumina (Scheiben mit dem Radius f(x) und der Dicke dx) berechnet und danach die Differenz gebildet werden.


Bezug
                
Bezug
Rotationskörpervolumen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:52 Mo 24.02.2020
Autor: Mathe-Lily

Super, vielen Dank für die Antwort!
Es macht auch echt nur so Sinn, die eine Aufgabe muss also falsch gelöst worden sein.

Liebe Grüße,
Lily

Bezug
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