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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Mo 07.02.2011 | | Autor: | philthad |
| Aufgabe | | Berechne wie oft du statistisch gesehen am Roulette-Tisch drehen musst, damit 7 Mal hintereinander kein Rot erscheint. |
ch will die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „es kommt 7 mal nicht die Farbe ROT am Roulette Tisch“ ausrechnen. Das 1x nicht ROT kommt liegt bei 19/37. Das 7x nicht ROT kommt, liegt somit bei [mm] (19/37)^7, [/mm] das wären dann rund 1/100. Das heißt widerum, dass die Wahrscheinlichkeit dass Rot bei 7 Drehungen nicht errscheint, bei 1/100 liegt, also in einem Fall von 100 geschieht. Könnte ich somit auch sagen, dass bei 700 mal drehen, statistisch gesehen es einmal vorkommt dass 7 mal hintereinander nicht Rot erscheint? - Nein.
Dass es sich um 700 mal drehen handelt, kann ich nun doch schon mal ausschließen. Weil die 1/100 sagen ja nur aus, dass in einem von 100 Fällen beim 7maligen Drehen, eine Reihe dabei ist, wo kein ROT vorhanden ist. Jetzt muss man aber auch bedenken, dass "7mal hintereinander kein ROT" zwischen den Reihen erscheinen kann. Das heißt bsp., dass von einer reihe die letzten 4 Male kein Rot erscheint, von der darauffolgenden kommt aber die ersten 3 Male auch kein Rot. Hier hätte ich somit auch 7 Mal nicht die Farbe ROT hintereinander.
Ich würde gerne wissen, wie oft ich statistisch gesehen drehen muss, damit 7mal hintereinander kein Rot erscheint...
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.primusboard.de/thread.php?threadid=102222&sid=05fe1786e00f1c8e2860e2088a2161ef]
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> Berechne wie oft du statistisch gesehen am Roulette-Tisch
> drehen musst, damit 7 Mal hintereinander kein Rot
> erscheint.
> Ich will die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „es
> kommt 7 mal nicht die Farbe ROT am Roulette Tisch“
> ausrechnen. Das 1x nicht ROT kommt liegt bei 19/37. Das 7x
> nicht ROT kommt, liegt somit bei [mm](19/37)^7,[/mm] das wären dann
> rund 1/100. Das heißt widerum, dass die Wahrscheinlichkeit
> dass Rot bei 7 Drehungen nicht errscheint, bei 1/100 liegt,
> also in einem Fall von 100 geschieht. Könnte ich somit
> auch sagen, dass bei 700 mal drehen, statistisch gesehen es
> einmal vorkommt dass 7 mal hintereinander nicht Rot
> erscheint? - Nein.
>
> Dass es sich um 700 mal drehen handelt, kann ich nun doch
> schon mal ausschließen. Weil die 1/100 sagen ja nur aus,
> dass in einem von 100 Fällen beim 7maligen Drehen, eine
> Reihe dabei ist, wo kein ROT vorhanden ist. Jetzt muss man
> aber auch bedenken, dass "7mal hintereinander kein ROT"
> zwischen den Reihen erscheinen kann. Das heißt bsp., dass
> von einer reihe die letzten 4 Male kein Rot erscheint, von
> der darauffolgenden kommt aber die ersten 3 Male auch kein
> Rot. Hier hätte ich somit auch 7 Mal nicht die Farbe ROT
> hintereinander.
>
> Ich würde gerne wissen, wie oft ich statistisch gesehen
> drehen muss, damit 7mal hintereinander kein Rot
> erscheint...
Hallo philthad,
was hier fehlt, ist eine exakte Fragestellung !
Bei keiner noch so langen (endlichen) Serie von Versuchen
(ein Versuch bestehe aus einer Drehung) ist die Wahrschein-
lichkeit, dass in 7 aufeinander folgenden Versuchen nicht
Rot erscheint, jemals exakt gleich Eins.
Eine mögliche präzise Fragestellung könnte zum Beispiel
so lauten:
| Aufgabe | Wie viele einzelne Versuche sind beim Roulette nötig,
damit dabei mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95%
wenigstens einmal eine lückenlose Folge der Länge 7 entsteht,
in welcher "ROT" nicht auftritt ? |
(Anstatt mit 95% könnte man natürlich auch etwa mit 99%
rechnen)
Kombinatorisch gesehen ist die Aufgabe aber nicht so ganz
einfach ...
LG Al-Chw.
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| Aufgabe | Wie viele einzelne Versuche sind beim Roulette nötig,
damit dabei mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99%
wenigstens einmal eine lückenlose Folge der Länge 7 entsteht,
in welcher "ROT" nicht auftritt ? |
Okay, dann habe ich die Frage neu formuliert. Bin gespannt auf die Antworten, habe leider kaum ansätze dazu.
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edit nach viieel Schlaf:
ok, ihr hattet ja Recht, ich hab gestern absoluten Müll gelabert.
sorry an alle, die dadurch verwirrt wurden, hier die neue Fassung.
edit2:
nachdem ich alles brav abgetippt habe merke ich, dass ich mir doch nicht soo sicher mit der Lösung bin.
Also, falls jemand der Meinung ist er hätte die wirklich richtige Lösung darf er/sie mich gerne korrigieren. ;)
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal so eine 7er-Reihe ohne rot auftritt ist gleich 1 - die Wahrscheinlichkeit, dass so eine Reihe nicht auftritt.
Also:
$1 - p [mm] \ge [/mm] 0,99$
wobei p die Wahrscheinlichkeit ist, dass wir keine solche 7er-Reihe haben.
Nun müssen wir noch p berechnen.
Dafür wissen wir: Wir haben keine solche 7er-Reihe, wenn mindestens jede 7. Zahl rot ist.
Wenn mehr Zahlen rot sind um so besser, aber wir müssen von dem ausgehen was mindestens benötigt wird, denn wir wollen ja auch nicht 10.000 Drehungen rauskriegen, wenn unsere Gleichung schon mit 4.000 Drehungen erfüllt wäre.
Das heißt:
$p = [mm] \left ( \frac{18}{37} \right )^{n/7}$
[/mm]
Somit haben wir also:
1 - [mm] \left ( \frac{18}{37} \right )^{n/7} \ge [/mm] 0,99
- [mm] \left ( \frac{18}{37} \right )^{n/7} \ge [/mm] -0,01
[mm] \left ( \frac{18}{37} \right )^{n/7} \le [/mm] 0,01
[mm] \frac{n}{7} [/mm] * [mm] ln(\frac{18}{37}) \le [/mm] ln(0,01)
[mm] \frac{n}{7} \ge ln(0,01)/ln(\frac{18}{37}) [/mm] (ln < 0 für x < 1 !)
n [mm] \ge [/mm] 44,7
Das erscheint mir jetzt aber etwas wenig...
Da leider mein einziger anderer Rechenweg beinahe die gleiche Zahl liefert und nichts was realistischer scheint wäre es nett wenn jemand, der die Lösung ganz sicher (richtig) hat diese vorstellen könnte... ;)
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> Also ich würde das so angehen:
>
> Die Wahrscheinlichkeit für so eine 7er-Reihe ist, wie du
> richtig gesagt hast, [mm]\left ( \frac{13}{37} \right ) ^{7}[/mm]
>
> Nun drehen wir n Mal und fragen uns: wie hoch ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass so eine 7er-Reihe entsteht.
> Dafür müssen wir 2 Dinge betrachten:
> 1. die 7er-Reihe an sich (siehe oben)
> 2. die Position der 7er-Reihe im Block
> Bei n Drehungen gibt es genau (n-6) Möglichkeiten, wo die
> 7er-Reihe beginnen könnte...
>
> Das führt uns zu folgender zur lösender Gleichung:
>
> [mm]\left ( \frac{13}{37} \right ) ^{7} * (n-6) \ge 0,99[/mm]
> Das
> ergibt für n:
> [mm]n \ge 1491,765[/mm]
> Das heißt also du musst mindestens 1492
> Mal drehen, damit die Wahrscheinlichkeit für so eine
> 7er-Reihe bei mindestens 99% liegt.
Hallo Schadowmaster,
es wäre schön, wenn es so einfach wäre !
Bei deiner "Lösung" ignorierst du allerdings vollständig
die Tatsache, dass man es bei den (n-6) möglichen
Positionen einer solchen Siebner-Reihe weder um unabhängige
noch um unvereinbare Ereignisse handelt. Zudem ist mir
schleierhaft, wo in deiner Rechnung plötzlich die Zahl
13 herkommt.
Nur kann ich leider im Moment auch keine korrekte
Lösung anbieten; es handelt sich wirklich um eine
schwierige Kombinatorikaufgabe.
LG Al-Chw.
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Ja, du hast Recht, ich lasse außer Acht, dass diese Ereignisse auch vereinbar sein könnten.
Allerdings tue ich das bewusst.
Da in der Fragestellung stand "mindestens eine 7er-Reihe" ist es absolut egal, ob wir nun in unserem Ergebnis noch irgendwo andere 7er-Reihen haben, MINDESTENS eine ist dann immernoch erfüllt.
Die 13 hab ich mich vertippt, es soll natürlich eine 19 sein (ich berichtige das gleich noch).
Ob und in wie weit man die Abhängigkeit der Ereignisse beachten müsste kann ich jetzt im Moment nicht mit Bestimmtheit sagen, also wenn jemand es ganz sicher weiß: immer gern her damit.
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> Wie viele einzelne Versuche sind beim Roulette nötig,
> damit dabei mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
> 99%
> wenigstens einmal eine lückenlose Folge der Länge 7
> entsteht,
> in welcher "ROT" nicht auftritt ?
> Okay, dann habe ich die Frage neu formuliert. Bin gespannt
> auf die Antworten, habe leider kaum ansätze dazu.
Hallo philthad,
einen eigenen Ansatz zu einer "exakten" Lösung habe ich
nach wie vor nicht.
Ich bin aber auf einen Thread im Matheboard gestoßen, in
welchem eine ähnliche Frage behandelt wurde:
http://www.matheboard.de/archive/48661/thread.html
Sonst würde ich allerdings bei deinem Problem eher mit
einer Computersimulation weiterfahren. Vielleicht finde
ich die Zeit, sowas zu basteln.
LG Al-Chw.
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Hallo,
ich habe nun ein Programm erstellt, das in einer Serie
simulierter Roulette-Folgen einer jeweils vorgegebenen
Länge n die relative Häufigkeit des Vorkommnisses
"wenigstens eine lückenlose Sequenz der Länge 7 ohne Rot"
ermittelt.
Einige Läufe haben gezeigt, dass für [mm] p\ge0.95 [/mm] knapp unter
640 Drehungen erforderlich sind.
Um [mm] p\approx{0.99} [/mm] zu erreichen muss man das Rad ungefähr 980 mal
drehen.
LG Al-Chw.
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> Um [mm]p\approx{0.99}[/mm] zu erreichen, muss man das Rad ungefähr
> 980 mal drehen.
Eine umfangreichere Rechnung (dafür hat mein Mac
in über 2 Stunden insgesamt gegen eine Milliarde
Zufallszahlen erzeugt und verwertet) hat gezeigt,
dass für [mm] p\ge0.99 [/mm] schon 975 Drehungen knapp genügen.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 10.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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