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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Di 17.02.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich hab eine Frage zur Herleitung des SOR-Verfahren.
Also ich weiß, dass ich es aus dem Gauß-Seidel-Verfahren herleite, indem ich umstelle, und mit einem Relaxionsfaktor (was ist das?) multipliziere.
Bei der Umstellung hab ich Probleme, vielleicht kann jemand weiterhelfen?
Mein Buch geht wie folgt vor:
Ausgang: Gauß-Seidel: [mm] x_i^{k+1}=\bruch{1}{a_{ii}}*(b_i-\summe_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{k+1}-\summe_{j=i+1}^{n}a_{ij}x_j^{k})
[/mm]
Umformung zu: [mm] x_i^{k+1}=x_i^k-\bruch{1}{a_{ii}}*(\summe_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{k+1}+\summe_{j=i}^{n}a_{ij}x_j^{k})
[/mm]
Also wenn ich Gauß-Seidel als Ausgang nehme, und aus der Klammer eine [mm]\ -1[/mm] ausklammere, dann krieg ich schonmal die Vorzeichen richtig hin:
[mm] x_i^{k+1}=\bruch{1}{a_{ii}}*(b_i-\summe_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{k+1}-\summe_{j=i+1}^{n}a_{ij}x_j^{k})=x_i^{k+1}=\bruch{1}{a_{ii}}*(-1)*(-b_i+\summe_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{k+1}+\summe_{j=i+1}^{n}a_{ij}x_j^{k})=x_i^{k+1}=-\bruch{1}{a_{ii}}*(\summe_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{k+1}+\summe_{j=i+1}^{n}a_{ij}x_j^{k}-b_i)
[/mm]
Aber wie komme ich an das [mm] x_i^k, [/mm] was hinter dem Gleichheitszeichen noch steht, und an den Indexshift in der letzten Summe?
In meiner Vorlesungsmitschrift hat sich an dem Laufindex der letzten Summe übringens nichts verändert - was ist nun richtig?
Hat jemand eine Idee?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Mi 18.02.2009 | | Autor: | alex42 |
Hallo Nadine,
> Ausgang: Gauß-Seidel:
> [mm]x_i^{k+1}=\bruch{1}{a_{ii}}*(b_i-\summe_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{k+1}-\summe_{j=i+1}^{n}a_{ij}x_j^{k})[/mm]
>
> Umformung zu:
> [mm]x_i^{k+1}=x_i^k-\bruch{1}{a_{ii}}*(\summe_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{k+1}+\summe_{j=i}^{n}a_{ij}x_j^{k})[/mm]
>
Hier sollte doch auf jeden Fall noch ein [mm] $b_i$ [/mm] vorkommen?
> Also wenn ich Gauß-Seidel als Ausgang nehme, und aus der
> Klammer eine [mm]\ -1[/mm] ausklammere, dann krieg ich schonmal die
> Vorzeichen richtig hin:
>
> [mm]x_i^{k+1}=\bruch{1}{a_{ii}}*(b_i-\summe_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{k+1}-\summe_{j=i+1}^{n}a_{ij}x_j^{k})=x_i^{k+1}=\bruch{1}{a_{ii}}*(-1)*(-b_i+\summe_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{k+1}+\summe_{j=i+1}^{n}a_{ij}x_j^{k})=x_i^{k+1}=-\bruch{1}{a_{ii}}*(\summe_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{k+1}+\summe_{j=i+1}^{n}a_{ij}x_j^{k}-b_i)[/mm]
>
> Aber wie komme ich an das [mm]x_i^k,[/mm] was hinter dem
> Gleichheitszeichen noch steht, und an den Indexshift in der
> letzten Summe?
Um einen wirklichen Indexshift handelt es sich ja gar nicht, es gibt einfach einen Summanden mehr. Hier muss man glaube ich nur noch eine 0 einfügen:
[mm] $x_i^{k+1} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{a_{ii}}*(\summe_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{k+1}+\summe_{j=i+1}^{n}a_{ij}x_j^{k}-b_i) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{a_{ii}}*(\summe_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{k+1}-a_{ii}x_i^k+a_{ii}x_i^k+\summe_{j=i+1}^{n}a_{ij}x_j^{k}-b_i) =x_i^k-\bruch{1}{a_{ii}}*(\summe_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{k+1}+\summe_{j=i}^{n}a_{ij}x_j^{k}-b_i)$
[/mm]
Das ist die Gleichung von oben aus dem Buch. Bist du sicher, dass deine Mitschrift was anderes sagt? Ich hab die Formel nicht im Kopf, aber die Umformung(en) aus dem Buch kann ich nachvollziehen.
Zum Relaxationsparameter allgemein:
In den Formeln oben wurde das Verfahren ja so umgeschrieben, dass es in der Form
[mm] $x^{k+1} [/mm] = [mm] x^k [/mm] + [mm] s^k$
[/mm]
steht, also ergibt sich die neue Iterierte als ein "Update" der Alten. Die Idee ist jetzt, durch Einführen eines so genannten Relaxationsparameters [einfache Wörter werden so schnell langweilig ;)] zusätzliche Informationen über die Matrix in das Verfahren einzubauen, um so den Spektralradius der Iterationsmatrix zu verringern und somit die Konvergenzgeschwindigkeit zu erhöhen:
[mm] $x^{k+1} [/mm] = [mm] x^k [/mm] + [mm] \omega s^k$
[/mm]
Viele Grüße,
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 Do 09.04.2009 | | Autor: | Pacapear |
Oh, ich seh grad, ich hab ganz vergessen, dir für deine Antwort zu danken *schäm*
Ganz herzlichen Dank also, du hast mir sehr geholfen 
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