S(X) ist Gruppe? < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Steini |
| Aufgabe | Sei X eine Menge und S(X) die Menge aller bijektiven Abbildungen von X in sich. Zeigen Sie, dass S(X) bezüglich der Kompositionen von Abbildungen eine Gruppe ist. Zeigen Sie, dass S(X) nicht kommutativ ist, falls X mindestens drei Elemente besitzt.
Welhalb ist die Menge aller Abbildungen X [mm] \to [/mm] X keine Gruppe bezüglich Komposition, falls X mindestens zwei Elemente besitzt? |
Hallo,
also ich habe mir erst mal folgendes gedacht:
Eine Gruppe muss ja erfüllen, dass:
(i) (a x b) x c = a x (b x c)
(ii) die Existenz eines neutralen Elements e mit e x a = a x e = a
(iii) die Existenz des inversen zu a mit: a x [mm] a^{-1} [/mm] = [mm] a^{-1} [/mm] x a = e
Das erste könnte man ja so zeigen:
Bew. zu (i):
zz ((a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] c)(x)=(a [mm] \circ [/mm] (b [mm] \circ [/mm] c))(x)
((a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] c)(x)
=(a [mm] \circ [/mm] b)(c(x))
=a(b(c(x))
=a(b [mm] \circ [/mm] c)(x)
=a [mm] \circ [/mm] (b [mm] \circ [/mm] c)(x)
zu (ii) ist ja klar, da [mm] id_{x} [/mm] genau das erfüllt.
zu (iii) ist auch klar, da alle bijektiven Abb. Umkehrabb. haben. das wäre ja genau das, was vorrausgesetzt ist.
Zum zweiten Teil habe ich mir gedacht, dass ich das ganze dann mal für eine einelementige Menge zeige, dass das klappt (dürfte ja nicht so schwer sein). Mit einer zweielementigen Menge würde ich das genau so machen und dann zeigen, dass ab einer dreielementigen MEnge das eben nicht mehr klappt. (da wäre ne Idee nicht schlecht, weil ich das noch nicht so ganz weiß, wie ich das machen soll)
Zum dritten Teil der Aufgabe habe ich mri gedacht, dass ich "einfach" ein Gegenbeispiel suche, das müsste doch reichen, oder?
Vielen Dank
Stefan
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> Sei X eine Menge und S(X) die Menge aller bijektiven
> Abbildungen von X in sich. Zeigen Sie, dass S(X) bezüglich
> der Kompositionen von Abbildungen eine Gruppe ist. Zeigen
> Sie, dass S(X) nicht kommutativ ist, falls X mindestens
> drei Elemente besitzt.
> Welhalb ist die Menge aller Abbildungen X [mm]\to[/mm] X keine
> Gruppe bezüglich Komposition, falls X mindestens zwei
> Elemente besitzt?
> Hallo,
> also ich habe mir erst mal folgendes gedacht:
> Eine Gruppe muss ja erfüllen, dass:
Hallo,
Du hast etwas Wichtiges vergessen: axb muß für alle a,b in der Gruppe liegen.
Du mußt also noch zeigen, daß die Verkettung bijektiver Funktionen bijektiv ist.
> Zum zweiten Teil habe ich mir gedacht, dass ich das ganze
> dann mal für eine einelementige Menge zeige, dass das
> klappt (dürfte ja nicht so schwer sein). Mit einer
> zweielementigen Menge würde ich das genau so machen
Das kannst Du Dir eigentlich sparen, denn die wollen von Dir ja nur wissen, daß das für Mengen mit drei oder mehr Elementen nicht klappt.
> dann zeigen, dass ab einer dreielementigen MEnge das eben
> nicht mehr klappt. (da wäre ne Idee nicht schlecht, weil
> ich das noch nicht so ganz weiß, wie ich das machen soll)
Ich würde erstmal überlegen, warum das bei einer Menge mit drei Elementen nicht klappt, und dieses Beispiel dann ausweiten auf eine Menge mit mehr als drei Elementen.
>
> Zum dritten Teil der Aufgabe habe ich mri gedacht, dass
> ich "einfach" ein Gegenbeispiel suche, das müsste doch
> reichen, oder?
Ja, wenn's gegenbeispiel richtig ist, reicht das.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 So 26.10.2008 | | Autor: | Mary1986 |
Hallo!
Ich hab mal eine Frage dazu!
Wenn S(X) die Menge aller bijektiven Abbildungen von X in sich ist. Sind dann alle bijektiven Abbildungen [mm]f:M\rightarrow M[/mm] ?
Dann hätte ich ja schon eine Abb. und die zweite nenne ich dann einfach [mm]g:M\rightarrow M[/mm] oder?
Dann kann ich doch für alle x [mm]\in[/mm] X [mm](f $\circ $ g)(x):= f(g(x))[/mm]
schreiben und für alle f,g,h [mm]\in[/mm] G
[mm](f $\circ $ g)(x)$\circ $ h= f$\circ $(g$\circ $h)[/mm]
wegen [mm]((f$\circ $g)$\circ $h)(x)=(f$\circ $g)(h(x))=f(g(h(x))=(f(g$\circ $h))(x)=(f$\circ $(g$\circ $h))(x) [/mm] für alle x [mm]\in[/mm] X
Und damit hab ich dann die assoziativizät bewiesen oder?
Und wie beweise ich dass dann mit dem einselement und der inversen?
Und warum ist das Kommutativ gesetzt für mehr als 2 Elemente nicht gültig? Ich muss doch nur g*h=h*g zeigen und da ist es doch egal wieviel elemente es gibt oder nicht?
Was ist in dem dritten Teil der Frage gemeint?
Viele Grüße
Mary
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> Wenn S(X) die Menge aller bijektiven Abbildungen von X in
> sich ist. Sind dann alle bijektiven Abbildungen
> [mm]f:M\rightarrow M[/mm] ?
Hallo,
nein, wie oben steht: alle bijektiven Abbildungen aus der Menge X in die Menge X.
> Dann kann ich doch für alle x [mm]\in[/mm] X [mm](f $\circ $ g)(x):= f(g(x))[/mm]
>
> schreiben und für alle f,g,h [mm]\in[/mm] G
> [mm](f $\circ $ g)(x)$\circ $ h= f$\circ $(g$\circ $h)[/mm]
Nicht ganz. Sondern so (f [mm] $\circ [/mm] $ [mm] g)$\circ [/mm] $ h= [mm] f$\circ $(g$\circ [/mm] $h)
> wegen
> [mm]((f$\circ $g)$\circ $h)(x)=(f$\circ $g)(h(x))=f(g(h(x))=(f(g$\circ $h))(x)=(f$\circ $(g$\circ $h))(x)[/mm]
> für alle x [mm]\in[/mm] X
> Und damit hab ich dann die assoziativizät bewiesen oder?
Ja.
> Und wie beweise ich dass dann mit dem einselement und der
> inversen?
Zu Existenz des neutralen und inversen Elements hat ja Steini schon was gesagt.
> Und warum ist das Kommutativ gesetzt für mehr als 2
> Elemente nicht gültig? Ich muss doch nur g*h=h*g zeigen und
> da ist es doch egal wieviel elemente es gibt oder nicht?
Moment: es geht darum, wieviele Elemente X enthält.
> Was ist in dem dritten Teil der Frage gemeint?
Eigentlich das, was da steht. Worauf zielt Deine Frage?
Gruß v. Angela
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