S´chittpunkt zweier Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1) Gegeben E: [mm] \overrightarrow{OX}= \vektor{0\\ 0\\ 9}+ [/mm] p* [mm] \vektor{4\\ 0\\ 3}+ [/mm] q* [mm] \vektor{0\\ 2\\ -3} [/mm]
und [mm] F:\overrightarrow{OX}= \vektor{2\\ 0\\ 3}+ [/mm] s* [mm] \vektor{0\\ 2\\ -3}+ [/mm] t* [mm] \vektor{-2\\ 3\\ -3} [/mm]
Untersuchen sie die gegenseitige Lage der Ebenen E und F
2)Gegeben ist die Gerade g mit [mm] \overrightarrow{OX} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2\\ 1}+ [/mm] p* [mm] \vektor{4\\ -2\\ 0}
[/mm]
Bestimmen sie die Gleichungen der Ebenen, die g als Schnittgerade besitzen.
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zu 1) Man muss die Ebenen gleichsetzten damit man eine lage bekommt:
1) wenn man keine Lösung bkommt sien de Ebenen parallel
2) wenn die lösung einen freien Parameter enthält, schneiden sich die Ebenen
3) wenn die lösung zwei freie Parameter enthält, sind die Ebenen identisch
Nach dem Gleichsetzen : [mm] \vektor{-2 \\0\\6}= [/mm] s* [mm] \vektor{0 \\2\\-3}+ [/mm] t* [mm] \vektor{-2 \\3\\-3}+p* \vektor{-4 \\0\\-3} +q*\vektor{0\\-2\\3} [/mm]
Also erhalte ich folgendes Gleichungssystem:
[mm] \pmat{ 0 & -2 & -4 & 0 & -2\\ 2 & 3 & 0 & -2 & 0\\ -3 & -3 & -3 & 3 & 6 }
[/mm]
beim lösen kommt dann folgenen raus : [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 & -15/4\\ 0 & 0 & 1& 0 & 5/2\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -3/4 }
[/mm]
Somit ist s-q=-15/4
t= 5/2
p=-3/4
Wie mache ich nun weiter? ich muss ja eigentlich jetzt irgendwie die Schnittgerade rauskriegen aber wie mache ich das?
2) ich hab keine ahnung wie ich das mache , da ich 1 schon net rechnen kann .... vllt kann mir ja jemand einen tipp geben???
danke im Voraus
mfg
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Hallo jazzy_mathe_,
> 1) Gegeben E: [mm]\overrightarrow{OX}= \vektor{0\\ 0\\ 9}+[/mm] p*
> [mm]\vektor{4\\ 0\\ 3}+[/mm] q* [mm]\vektor{0\\ 2\\ -3}[/mm]
> und [mm]F:\overrightarrow{OX}= \vektor{2\\ 0\\ 3}+[/mm] s*
> [mm]\vektor{0\\ 2\\ -3}+[/mm] t* [mm]\vektor{-2\\ 3\\ -3}[/mm]
> Untersuchen sie die gegenseitige Lage der Ebenen E und F
>
> 2)Gegeben ist die Gerade g mit [mm]\overrightarrow{OX}[/mm] =
> [mm]\vektor{1 \\ 2\\ 1}+[/mm] p* [mm]\vektor{4\\ -2\\ 0}[/mm]
> Bestimmen sie
> die Gleichungen der Ebenen, die g als Schnittgerade
> besitzen.
>
> zu 1) Man muss die Ebenen gleichsetzten damit man eine lage
> bekommt:
> 1) wenn man keine Lösung bkommt sien de Ebenen parallel
> 2) wenn die lösung einen freien Parameter enthält,
> schneiden sich die Ebenen
> 3) wenn die lösung zwei freie Parameter enthält, sind die
> Ebenen identisch
>
> Nach dem Gleichsetzen : [mm]\vektor{-2 \\0\\6}=[/mm] s* [mm]\vektor{0 \\2\\-3}+[/mm]
> t* [mm]\vektor{-2 \\3\\-3}+p* \vektor{-4 \\0\\-3} +q*\vektor{0\\-2\\3}=[/mm]
> Also erhalte ich folgendes Gleichungssystem:
> [mm]\pmat{ 0 & -2 & -4 & 0 & -2\\ 2 & 3 & 0 & -2 & 0\\ -3 & -3 & -3 & 3 & 6 }[/mm]
>
> beim lösen kommt dann folgenen raus : [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 & -15/4\\ 0 & 0 & 1& 0 & 5/2\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -3/4 }[/mm]
>
> Somit ist s-q=-15/4
> t= 5/2
> p=-3/4
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie mache ich nun weiter? ich muss ja eigentlich jetzt
> irgendwie die Schnittgerade rauskriegen aber wie mache ich
> das?
Die erhaltenen Werte für s, t in F einsetzen.
Oder eben p,q in E einsetzen.
>
> 2) ich hab keine ahnung wie ich das mache , da ich 1 schon
> net rechnen kann .... vllt kann mir ja jemand einen tipp
> geben???
Einen Teil der zu bestimmenden Ebenen haste ja schon, nämlich die Schnittgerade g.
Da eine Ebene 2 linear unabhängige Vektoren besitzt, wird noch je ein solcher Richtungsvektor benötigt.
Diese bekommst Du über die Normalform der Ebenen heraus.
>
> danke im Voraus
> mfg
Gruß
MathePower
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Also zu 1) danke... da hätte ich auch selber drauf kommen können.. ich denke manchmal auch zu kompliziert^^
und zu 2) ich verstehe das nicht mit der normalform.... kannst du mir das vllt nochma genauer darstellen??
sorry aber ich habe momentan wirklich keine ahnung was du meinst sonst würde ich versuchen irgendeinen anstaz zu machen
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Hallo jazzy_mathe_,
> Also zu 1) danke... da hätte ich auch selber drauf kommen
> können.. ich denke manchmal auch zu kompliziert^^
> und zu 2) ich verstehe das nicht mit der normalform....
> kannst du mir das vllt nochma genauer darstellen??
> sorry aber ich habe momentan wirklich keine ahnung was du
> meinst sonst würde ich versuchen irgendeinen anstaz zu
> machen
Die Ebenengleichung in Parameterform lautet:
[mm]E:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+s*\overrightarrow{b}+t*\overrightarrow{c}[/mm]
Multiplizierst Du diese skalar mit einem Vektor [mm]\overrightarrow{n}[/mm], der zu [mm]\overrightarrow{b}[/mm] und [mm]\overrightarrow{c}[/mm] orthogonal (senkrecht) ist, dann ergibt sich:
[mm]\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+s*\overrightarrow{b}+t*\overrightarrow{c}[/mm]
[mm]\Rightarrow \overrightarrow{x} \* \overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} \* \overrightarrow{n} + s* \overrightarrow{b} \* \overrightarrow{n} +t* \overrightarrow{c} \* \overrightarrow{n}[/mm]
Da [mm]\overrightarrow{n}[/mm] zu [mm]\overrightarrow{b}[/mm] und [mm]\overrightarrow{c}[/mm] orthogonal ist, gilt:
[mm]\overrightarrow{b} \* \overrightarrow{n}=0[/mm]
[mm]\overrightarrow{c} \* \overrightarrow{n}=0[/mm]
[mm]\Rightarrow \overrightarrow{x} \* \overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} \* \overrightarrow{n} [/mm]
[mm]\gdw \left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a}\right) \* \overrightarrow{n}=0[/mm]
Dies ist die Normalengleichung der Ebene.
Gruß
MathePower
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Ja und wie bekomm ich nun meine Ebenengleichungen hin, die sich in der Gerade schneiden? ich stehe momentan voll aufen schlauch....
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Hallo _jazzy_mathe_,
> Ja und wie bekomm ich nun meine Ebenengleichungen hin, die
> sich in der Gerade schneiden? ich stehe momentan voll aufen
> schlauch....
Die Gleichung der Schnittgerade hast Du ja,
Sei die Gleichung der Schnittgerade durch
[mm] g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+p\cdot{}\overrightarrow{b} [/mm]
Gesuch sind die zwei Ebenen, die als Schnittmenge diese Schnittgerade haben.
Setzen wir nun die Ebengleichungen wie folgt an:
[mm]E:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+p\cdot{}\overrightarrow{b}+q\cdot{}\overrightarrow{c} [/mm]
Wenn [mm] \overrightarrow{n} [/mm] ein Vektor ist, der zu [mm] \overrightarrow{b} [/mm] und [mm] \overrightarrow{c} [/mm] orthognal ist, dann gilt:
[mm] \left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a}\right) * \overrightarrow{n}=0 [/mm]
Hier wird nun die Gleichung der Schnittgerade eingesetzt:
$ [mm] \left(\overrightarrow{a}+p\cdot{}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right) [/mm] * [mm] \overrightarrow{n}=0 [/mm] $
[mm] \gdw p\cdot{}\overrightarrow{b} * \overrightarrow{n}=0 [/mm]
Wir benötigen daher orthogonale Vektoren [mm] \overrightarrow{n} [/mm], die zu [mm] \overrightarrow{b} [/mm] orthogonal sind.
Sind dies [mm] \overrightarrow{n_{1}} [/mm] und [mm] \overrightarrow{n_{2}} [/mm], wobei auch [mm]\overrightarrow{n_{1}}[/mm] und [mm]\overrightarrow{n_{2}}[/mm] zueinander orthogonal sind,so lauten die Ebenengleichungen:
[mm]E_{1}:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+p\cdot{}\overrightarrow{b}+q\cdot{}\overrightarrow{n_{1}} [/mm]
[mm]E_{2}:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+s\cdot{}\overrightarrow{b}+t\cdot{}\overrightarrow{n_{2}} [/mm]
Gruß
MathePower
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Ich verstehe zwar jetzt wie man das macht aber warum das so geht wieso man das machen kann verstehe ich net... kannst du mir das vllt mal erklären?? wäre ganz nett
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Hallo jazzy_mathe_,
> Ich verstehe zwar jetzt wie man das macht aber warum das so
> geht wieso man das machen kann verstehe ich net... kannst
> du mir das vllt mal erklären?? wäre ganz nett
Da eine Schnittgerade zweier Ebenen gegeben ist, ist es sinnvoll diese als Teil der Ebene an zusehen, damit die spätere Rechung vereinfacht wird.
Somit ist der Richtungsvektor der Geraden auch ein Richtungsvektor der Ebene.
Es spricht ja nichts dagegen die Gleichung der Schnittgerade in die Normalenform der Ebene einzusetzen.
Daher muss dieser Richtungsvektor orthogonal zum Normalenvektor der Ebene sein.
Weiterhin kann man, noch an die zu dem Richtungsvektor orthogonalen Vektoren, die Bedingung stellen, daß diese untereinander auch orthogonal sind.
Läßt man diese Bedingung fallen, so ergeben sich die Ebenengleichungen wie folgt:
[mm]E_{1}:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+s*\overrightarrow{b}+t*\left(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{n_{1}}\right)[/mm]
[mm]E_{2}:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+s*\overrightarrow{b}+t*\left(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{n_{2}}\right)[/mm]
Gruß
MathePower
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ich hab heute mal inner schule gefragt und die die auch in meinem mathekurs sind meinten mann ´kann es auch so machen, dass man irgendeinen richtungsvektor nimmt... er darf bloß net ein vielfaches vom ersten sein... also nimmt man für die ebene den aufpunktvektor und den richtungsvektor der Ebene und als zweiten einen beliebigen.... geht das auch, da ich das mit der normalform net machen kann... das hatten wir noch net und dann müsste ich das erklären warum und das kann ich net^^, da ich die normalform ja net kenn
mfg
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Hallo jazzy_mathe_
> ich hab heute mal inner schule gefragt und die die auch in
> meinem mathekurs sind meinten mann ´kann es auch so machen,
> dass man irgendeinen richtungsvektor nimmt... er darf bloß
> net ein vielfaches vom ersten sein... also nimmt man für
> die ebene den aufpunktvektor und den richtungsvektor der
> Ebene und als zweiten einen beliebigen.... geht das auch,
> da ich das mit der normalform net machen kann... das hatten
> wir noch net und dann müsste ich das erklären warum und das
> kann ich net^^, da ich die normalform ja net kenn
Sicher geht das, der zweite Richtungsvektor darf kein Vielfaches des ersten sein.
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> mfg
Gruß
MathePower
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