Sachverhalt in Prädikatenlogik < Prädikatenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Do 22.05.2014 | | Autor: | ac1989 |
| Aufgabe | Wir betrachten die Struktur [mm] \mathcal{A} [/mm] = [mm] (\IR, [/mm] + , exp) der Signatur [mm] \tau [/mm] = [mm] \{+, exp\}, [/mm] wobei + die übliche Addition und exp(x) = [mm] e^{x} [/mm] die Exponentialfunktion darstellt.
Drücken Sie die folgenden Sachverhalte in [mm] FO(\tau) [/mm] aus. Achten Sie dabei auf die freien Variablen ihrer Formeln.
(i) x=1
(ii) Für x und y gilt, y = |x|
(iii) x > y
(iv) x ist positiv und y = ln(x)
(v) x*y = z |
In der Vorlesung hatten wir das so gelernt, dass wir bei der Bildung der Formeln außer den Quantoren und Junktoren nur die Symbole aus der Signatur verwenden dürfen.
Also hier sind meine Lösungen zu den Teilaufgaben:
(i)
Ich habe hier zunächst eine Hilfsformel gebaut mit der ich die 0 darstellen kann:
[mm] \gamma_{0}(y) [/mm] = y+y = y
Idee: wenn ich x = 0 setze so gilt diese Formel und für keine andere Zahl sonst. Somit kann ich die 0 darstellen.
Nun baue ich diese Hilfsformel in die eigtl. Formel ein:
[mm] \psi_{i}(x) [/mm] = [mm] \exists [/mm] y [mm] (\gamma_{0}(y) \wedge [/mm] x = exp(y))
Idee: sage, dass es ein y=0 existiert , sodass x = exp(y) = exp(0)=1, somit wäre mein x = 1 dargestellt.
zu (ii)
auch hierzu baue ich mir zunächst eine Hilfsfunktion [mm] \mu_{\le}(x,y), [/mm] die mir die [mm] \le [/mm] -Relation definiert, wie folgt:
[mm] \mu_{\le}(x,y) [/mm] = [mm] \exists [/mm] z (x+z= y)
Idee: es existiert eine Zahl z die addiert auf x gleich y ergibt. Somit muss x kleiner gleich y sein.
Nun baue ich diese Hilfsformel ein in die eigtl. Formel:
[mm] \psi(x,y) [/mm] = (x=y) [mm] \to \neg \exists (\gamma_{0}(z) \wedge \mu_{\le}(x,z))
[/mm]
Idee: wenn y gleich x ist, dann gibt es keine Zahl z=0, sodass x kleiner als z und somit negativ ist.
zu (iii)
hierzu hab ich als Hilfsformel die Formel aus (i) genommen und gesagt:
[mm] \psi(x,y) [/mm] = [mm] \exists [/mm] z [mm] (\psi_{i}(z) \wedge [/mm] y+z = x )
Idee: Es gibt ein Zahl z=1, sodass z addiert auf y gleich x ergibt.
(Bin mir aber unsicher, was das angeht)
zu (iv)
[mm] \psi(x,y) [/mm] = [mm] \exists [/mm] z [mm] (\gamma_{0}(z) \wedge \neg \mu_{\le}(x,z)) \forall [/mm] w [mm] \exists [/mm] z (w [mm] \not= [/mm] z [mm] \to [/mm] w = exp(z)) [mm] \wedge [/mm] y=z
Im Teil [mm] \exists [/mm] z [mm] (\gamma_{0}(z) \wedge \neg \mu_{\le}(x,z)) [/mm] versuche ich zu sagen, dass x positiv ist. Dazu wieder die Hilfsfunktionen [mm] \gamma_{0} [/mm] mit der ich die 0 darstellen kann und ω mit der ich die [mm] \le [/mm] - Relation darstellen kann(genau wie ich es auch zuvor gemacht habe)
Im Teil [mm] \forall [/mm] w [mm] \exists [/mm] z (w [mm] \not= [/mm] z [mm] \to [/mm] w = exp(z)) [mm] \wedge [/mm] y=z versuche folgendes zu sagen:
Wir wissen ja: Zu jeder pos. reellen Zahl x gibt es genau ein ln(x) mit x = exp(ln(x)).
So hier habe ich jetzt folgendes gemacht: Zu jeder Zahl w existiert ein z = ln(x), sodass wenn diese beiden ungleich sind, dann ist w=exp(z) und somit w=exp(ln(x)) und wenn das der Fall ist, dann soll y = z sein
(edit: hier war ich mir v.a. im 2. Teil verdammt unsicher)
zu (v):
hierzu hatte ich keine Idee.
Meine Frage an Euch wäre nun, wie Ihr meine Lösungen findet. Ist das so gut, schlecht, furchtbar? oder doch ok?
Ich lerne das grad neu und würde ich mich über verbesserungsvorschläge, feedbacks freuen, sodass ich meine womöglich gemachten fehler verstehen und demnächst besser machen kann.
vielen dank schon ma im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:11 Fr 23.05.2014 | | Autor: | hippias |
> Wir betrachten die Struktur [mm]\mathcal{A}[/mm] = [mm](\IR,[/mm] + , exp)
> der Signatur [mm]\tau[/mm] = [mm]\{+, exp\},[/mm] wobei + die übliche
> Addition und exp(x) = [mm]e^{x}[/mm] die Exponentialfunktion
> darstellt.
> Drücken Sie die folgenden Sachverhalte in [mm]FO(\tau)[/mm] aus.
> Achten Sie dabei auf die freien Variablen ihrer Formeln.
>
> (i) x=1
> (ii) Für x und y gilt, y = |x|
> (iii) x > y
> (iv) x ist positiv und y = ln(x)
> (v) x*y = z
> In der Vorlesung hatten wir das so gelernt, dass wir bei
> der Bildung der Formeln außer den Quantoren und Junktoren
> nur die Symbole aus der Signatur verwenden dürfen.
> Also hier sind meine Lösungen zu den Teilaufgaben:
>
> (i)
> Ich habe hier zunächst eine Hilfsformel gebaut mit der ich
> die 0 darstellen kann:
> [mm]\gamma_{0}(y)[/mm] = y+y = y
>
> Idee: wenn ich x = 0 setze so gilt diese Formel und für
> keine andere Zahl sonst. Somit kann ich die 0 darstellen.
>
> Nun baue ich diese Hilfsformel in die eigtl. Formel ein:
> [mm]\psi_{i}(x)[/mm] = [mm]\exists[/mm] y [mm](\gamma_{0}(y) \wedge[/mm] x =
> exp(y))
>
> Idee: sage, dass es ein y=0 existiert , sodass x = exp(y) =
> exp(0)=1, somit wäre mein x = 1 dargestellt.
Prima. Gut erklaert.
>
> zu (ii)
> auch hierzu baue ich mir zunächst eine Hilfsfunktion
> [mm]\mu_{\le}(x,y),[/mm] die mir die [mm]\le[/mm] -Relation definiert, wie
> folgt:
> [mm]\mu_{\le}(x,y)[/mm] = [mm]\exists[/mm] z (x+z= y)
>
> Idee: es existiert eine Zahl z die addiert auf x gleich y
> ergibt. Somit muss x kleiner gleich y sein.
>
> Nun baue ich diese Hilfsformel ein in die eigtl. Formel:
>
> [mm]\psi(x,y)[/mm] = (x=y) [mm]\to \neg \exists (\gamma_{0}(z) \wedge \mu_{\le}(x,z))[/mm]
>
> Idee: wenn y gleich x ist, dann gibt es keine Zahl z=0,
> sodass x kleiner als z und somit negativ ist.
Das verstehe ich gar nicht: es geht doch um $y= |x|$.
>
> zu (iii)
> hierzu hab ich als Hilfsformel die Formel aus (i) genommen
> und gesagt:
>
> [mm]\psi(x,y)[/mm] = [mm]\exists[/mm] z [mm](\psi_{i}(z) \wedge[/mm] y+z = x )
>
> Idee: Es gibt ein Zahl z=1, sodass z addiert auf y gleich x
> ergibt.
> (Bin mir aber unsicher, was das angeht)
Damit beschreibst du nur die Zahlenpaare, die sich um genau $1$ unterscheiden, aber $-5$ und $3$ laesst du aus. Deine Vorgehensweise ist aber grundsaetzlich gut ($x<y$ gdw. es ex. $z>0$ mit $x+z= y$). Ueberlege dir eine Hilfsformel, die genau fuer die positiven Zahlen erfuellt ist. Das geht z.B. mit Hilfe von $exp$. Diese Hilfsformel ist vielleicht auch an anderer Stelle nuetzlich.
>
> zu (iv)
>
> [mm]\psi(x,y)[/mm] = [mm]\exists[/mm] z [mm](\gamma_{0}(z) \wedge \neg \mu_{\le}(x,z)) \forall[/mm]
> w [mm]\exists[/mm] z (w [mm]\not=[/mm] z [mm]\to[/mm] w = exp(z)) [mm]\wedge[/mm] y=z
>
> Im Teil [mm]\exists[/mm] z [mm](\gamma_{0}(z) \wedge \neg \mu_{\le}(x,z))[/mm]
> versuche ich zu sagen, dass x positiv ist. Dazu wieder die
> Hilfsfunktionen [mm]\gamma_{0}[/mm] mit der ich die 0 darstellen
> kann und ω mit der ich die [mm]\le[/mm] - Relation darstellen
> kann(genau wie ich es auch zuvor gemacht habe)
>
> Im Teil [mm]\forall[/mm] w [mm]\exists[/mm] z (w [mm]\not=[/mm] z [mm]\to[/mm] w = exp(z))
> [mm]\wedge[/mm] y=z versuche folgendes zu sagen:
>
> Wir wissen ja: Zu jeder pos. reellen Zahl x gibt es genau
> ein ln(x) mit x = exp(ln(x)).
>
> So hier habe ich jetzt folgendes gemacht: Zu jeder Zahl w
> existiert ein z = ln(x), sodass wenn diese beiden ungleich
> sind, dann ist w=exp(z) und somit w=exp(ln(x)) und wenn
> das der Fall ist, dann soll y = z sein
>
> (edit: hier war ich mir v.a. im 2. Teil verdammt unsicher)
Das it ziemlich konfus. Ich meine es ist $x$ positiv und $y= [mm] \ln(x)$ [/mm] gdw. $x= exp(y)$.
>
> zu (v):
> hierzu hatte ich keine Idee.
Benutze die Regel $exp(x')*exp(y')= exp(x'+y')$ um das Produkt durch die Summe ausdruecken zu koennen. Du musst aber an die Vorzeichen denken.
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>
>
>
> Meine Frage an Euch wäre nun, wie Ihr meine Lösungen
> findet. Ist das so gut, schlecht, furchtbar? oder doch ok?
>
> Ich lerne das grad neu und würde ich mich über
> verbesserungsvorschläge, feedbacks freuen, sodass ich
> meine womöglich gemachten fehler verstehen und demnächst
> besser machen kann.
>
>
> vielen dank schon ma im Voraus
>
>
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