Satanische Zahlen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 So 19.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Wir nennen eine reelle Zahl [mm] x\in [/mm] [0,1] satanisch , wenn irgendwo in ihrer Dezimalentwicklung drei benachbarte Ziffern gleich 6 sind (also die Folge 666 auftritt). Zeigen Sie, dass fast alle Zahlen in [0,1] satanisch sind ( fast alle bedeutet hier: [mm] m([0,1])\backslash S)=0 [/mm], wobei S die Menge aller satanischen Zahlen in [0,1] bezeichnet). |
Eine passende Frage zur Weihnachtszeit!!
m bezeichnet hier wohl das Lebesgue-Maß.
Ich finde es sehr schwer einen Ansatz zu finden.
Vielleicht kann ja jemand helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 So 19.12.2010 | | Autor: | iks |
> Wir nennen eine reelle Zahl [mm]x\in[/mm] [0,1] satanisch , wenn
> irgendwo in ihrer Dezimalentwicklung drei benachbarte
> Ziffern gleich 6 sind (also die Folge 666 auftritt). Zeigen
> Sie, dass fast alle Zahlen in [0,1] satanisch sind ( fast
> alle bedeutet hier: [mm]m([0,1])\backslash S)=0 [/mm], wobei S die
> Menge aller satanischen Zahlen in [0,1] bezeichnet).
> Eine passende Frage zur Weihnachtszeit!!
>
> m bezeichnet hier wohl das Lebesgue-Maß.
> Ich finde es sehr schwer einen Ansatz zu finden.
>
> Vielleicht kann ja jemand helfen.
>
>
Hi Dennis!
Auf Grund der Disjunktheit sollte [mm] $m([0,1])\backslash [/mm] S)+m(S)=m([0,1])=1$ gelten, wenn die Aussage stimmt.
Meines Erachtens reicht es also aus zu zeigen, das [mm] $m([0,1])\backslash [/mm] S)=0$ gilt. Wenn man sich nun eine geeignete Mengenfolge bastelt, die Teilmenge einer Nullmenge ist, bist du fertig (zumindest in den Borelmengen).
Sei nun [mm] $\overline{S}:=[0,1])\backslash [/mm] S$ und [mm] $S_n$ [/mm] die Menge aller Zahlen aus, die bis zur n- ten Stelle der Partialbruchentwicklung keine 3 Sechsen hintereinander haben .
Hmm.. hier scheint mir der Entwurf ein wenig grob aber als Idee reichts vielleicht.
Dann ist [mm] $S_n\subset\IQ$ [/mm] und [mm] $\Cup(S_n)=\overline{S}$ [/mm]
Mag sein das ich dazu komme mich noch näher damit zu befassen.
VG iks
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 So 19.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Danke für die Idee.
Momentan verstehe ich davon noch nicht allzu viel.
Aber ich werde darüber nachdenken und vielleicht macht es ja dann klick!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 So 19.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> [mm]S_n[/mm] die Menge
> aller Zahlen aus, die bis zur n- ten Stelle der
> Partialbruchentwicklung keine 3 Sechsen hintereinander
> haben .
> [...]
> Dann ist [mm]S_n\subset\IQ[/mm]
das stimmt ganz bestimmt nicht.
Allerdings kann man [mm] $m(S_n)$ [/mm] recht explizit bestimmen, indem man die Anzahl der Zahlenfolgen der Laenge $n$ ausrechnet, die keine drei Sechsen hintereinander haben, und durch [mm] $10^n$ [/mm] teilt.
(Natuerlich reicht es aus, das ganze nach oben abzuschaetzen. Die Hauptsache ist, dass der entstehende Term fuer $n [mm] \to \infty$ [/mm] gegen 0 geht.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 So 19.12.2010 | | Autor: | iks |
> Moin,
>
> > [mm]S_n[/mm] die Menge
> > aller Zahlen aus, die bis zur n- ten Stelle der
> > Partialbruchentwicklung keine 3 Sechsen hintereinander
> > haben .
> > [...]
> > Dann ist [mm]S_n\subset\IQ[/mm]
>
> das stimmt ganz bestimmt nicht.
>
Ich meinte das so in der Art
[mm] $S_n:=\{x\in[0,1] | x=\sum_{k=1}^n a_k10^{-k}$ mit $a_{k-2},a_{k-1},a_{k}\neq6$ \forall$ $2< k\leq n, a_k\in\{0,...,9\}\}$
[/mm]
Hab mich wohl unglücklich ausgedrückt.
Gruß aus B iks
> Allerdings kann man [mm]m(S_n)[/mm] recht explizit bestimmen, indem
> man die Anzahl der Zahlenfolgen der Laenge [mm]n[/mm] ausrechnet,
> die keine drei Sechsen hintereinander haben, und durch [mm]10^n[/mm]
> teilt.
>
> (Natuerlich reicht es aus, das ganze nach oben
> abzuschaetzen. Die Hauptsache ist, dass der entstehende
> Term fuer [mm]n \to \infty[/mm] gegen 0 geht.)
>
> LG Felix
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:57 Mo 20.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > > [mm]S_n[/mm] die Menge
> > > aller Zahlen aus, die bis zur n- ten Stelle der
> > > Partialbruchentwicklung keine 3 Sechsen hintereinander
> > > haben .
> > > [...]
> > > Dann ist [mm]S_n\subset\IQ[/mm]
> >
> > das stimmt ganz bestimmt nicht.
> >
>
> Ich meinte das so in der Art
>
> [mm]$S_n:=\{x\in[0,1] | x=\sum_{k=1}^n a_k10^{-k}$ mit $a_{k-2},a_{k-1},a_{k}\neq6$ \forall$ $2< k\leq n, a_k\in\{0,...,9\}\}$[/mm]
das hatte ich mir schon gedacht. Nur ist das eben keine Teilmenge von [mm] $\IQ$, [/mm] sondern enthaelt auch sehr viele irrationale Zahlen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Mo 20.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
> Moin,
>
> > > > [mm]S_n[/mm] die Menge
> > > > aller Zahlen aus, die bis zur n- ten Stelle der
> > > > Partialbruchentwicklung keine 3 Sechsen hintereinander
> > > > haben .
> > > > [...]
> > > > Dann ist [mm]S_n\subset\IQ[/mm]
> > >
> > > das stimmt ganz bestimmt nicht.
> > >
> >
> > Ich meinte das so in der Art
> >
> > [mm]$S_n:=\{x\in[0,1] | x=\sum_{k=1}^n a_k10^{-k}$ mit $a_{k-2},a_{k-1},a_{k}\neq6$ \forall$ $2< k\leq n, a_k\in\{0,...,9\}\}$[/mm]
>
> das hatte ich mir schon gedacht. Nur ist das eben keine
> Teilmenge von [mm]\IQ[/mm], sondern enthaelt auch sehr viele
> irrationale Zahlen.
>
> LG Felix
>
Das bedeutet, ich muss jetzt [mm] m(S_n) [/mm] berechnen bzw. abschätzen. Aber ich habe keine Ahnung, wie man das machen könnte.
Aber danke bis hierher!!
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Wie wahrscheinlich ist es denn, dass irgendeine zufällig aus [0|1] gewählte Zahl nirgendwo in ihrer Dezimaldarstellung die Ziffernfolge 666 hat?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Mo 20.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
> Wie wahrscheinlich ist es denn, dass irgendeine zufällig
> aus [0|1] gewählte Zahl nirgendwo in ihrer
> Dezimaldarstellung die Ziffernfolge 666 hat?
Wie wahrscheinlich?
Ich würde sagen: sehr unwahrscheinlich.
Aber Du meinst sicher einen etwas mathematischeren Begriff von Wahrscheinlichkeit...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 Mo 20.12.2010 | | Autor: | abakus |
> > Wie wahrscheinlich ist es denn, dass irgendeine zufällig
> > aus [0|1] gewählte Zahl nirgendwo in ihrer
> > Dezimaldarstellung die Ziffernfolge 666 hat?
>
> Wie wahrscheinlich?
> Ich würde sagen: sehr unwahrscheinlich.
>
> Aber Du meinst sicher einen etwas mathematischeren Begriff
> von Wahrscheinlichkeit...
Hallo,
betrachte mal eine Zahl zwischen 0 und 1 mit 3*n Nachkommastellen.
Die Nachkommastellen ordnen wir zu n Dreiergruppen an.
Die Wahrscheinlichkeit, dass keine Dreiergruppe "666" ist, beträgt dann [mm] 0,999^n. [/mm] Das konvergiert gegen Null, wenn n gegen Unendlich geht.
In Wirklichkeit ist das Fehlen von Ziffernfolgen 666 noch unwahrscheinlicher, denn 666 entsteht auch dreiergruppenübergreifend, z. B. mit
... 586 661 ...
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Mo 20.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Meine 1. Frage ist:
Wie kommt man auf diese Wahrscheinlichkeit?
Meine 2. Frage lautet:
Wie bringt man das jetzt in Zusammenhang mit dem Maß m? |
Ich sehe diesen Zusammenhang nicht: Was hat das mit einem Maß zu tun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Mo 20.12.2010 | | Autor: | abakus |
> Meine 1. Frage ist:
> Wie kommt man auf diese Wahrscheinlichkeit?
Hallo,
es gibt 1000 mögliche Dreiergruppen (000 bis 999).
Eine davon ist "666", und 999 Gruppen sind nicht "666".
Die Wahrscheinlichkeit, bei der zufälligen Auswahl einer Dreiergruppe nicht 666 zu erhalten, beträgt (999/1000).
Gruß Abakus
>
> Meine 2. Frage lautet:
> Wie bringt man das jetzt in Zusammenhang mit dem Maß m?
> Ich sehe diesen Zusammenhang nicht: Was hat das mit einem
> Maß zu tun?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Di 21.12.2010 | | Autor: | gfm |
> Wie wahrscheinlich ist es denn, dass irgendeine zufällig
> aus [0|1] gewählte Zahl nirgendwo in ihrer
> Dezimaldarstellung die Ziffernfolge 666 hat?
Ist das denn so einfach? Die Menge der Zahlen aus [0,1], welche eine gegebene endliche Abfolge von Ziffern nirgendswo in der Nachkomma- Mantisse enthalten ist sicher überabzählbar, oder?
LG
gfm
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Hallo gfm,
> Ist das denn so einfach? Die Menge der Zahlen aus [0,1],
> welche eine gegebene endliche Abfolge von Ziffern
> nirgendswo in der Nachkomma- Mantisse enthalten ist sicher
> überabzählbar, oder?
Das hätte ich sofort genauso gedacht, aber der Gang der Diskussion zeigt doch sehr schön, wie eine solche Menge als Vereinigung abzählbar vieler endlicher Mengen definiert werden kann. Die Menge selbst ist damit ebenfalls abzählbar. Man staunt...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Di 21.12.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo gfm,
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> > Ist das denn so einfach? Die Menge der Zahlen aus [0,1],
> > welche eine gegebene endliche Abfolge von Ziffern
> > nirgendswo in der Nachkomma- Mantisse enthalten ist sicher
> > überabzählbar, oder?
>
> Das hätte ich sofort genauso gedacht, aber der Gang der
> Diskussion zeigt doch sehr schön, wie eine solche Menge
> als Vereinigung abzählbar vieler endlicher Mengen
> definiert werden kann. Die Menge selbst ist damit ebenfalls
> abzählbar. Man staunt...
Nimm eins von der ersten, zwei von der ersten, zwei von der zweiten, drei von der ersten, drei von der zweiten und drei von der dritten, usw.
Wenn man das lang genug macht, erreicht man jedes Element einer abzählbaren Vereinigung von abzählbaren Mengen, oder?
[mm] \{(a_i)_{i=1,...N}\} [/mm] ist abzählbar, [mm] \{(a_i)_{i\in\IN}\} [/mm] nicht.
LG
gfm
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Hallo gfm,
ich verstehe Deine Einlassung nicht.
> Nimm eins von der ersten, zwei von der ersten, zwei von der
> zweiten, drei von der ersten, drei von der zweiten und drei
> von der dritten, usw.
> Wenn man das lang genug macht, erreicht man jedes Element
> einer abzählbaren Vereinigung von abzählbaren Mengen,
> oder?
Nein. Man erreicht jedes Element einer abzählbaren Vereinigung endlicher Mengen. Dennoch ist aber auch die abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen auch abzählbar!
> [mm]\{(a_i)_{i=1,...N}\}[/mm] ist abzählbar, [mm]\{(a_i)_{i\in\IN}\}[/mm]
> nicht.
Wieso nicht? Wenn [mm] \{(a_i)\} [/mm] endlich ist [mm] \forall i\in\IN, [/mm] dann schon. Und eben auch, wenn es abzählbar ist.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Di 21.12.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo gfm,
>
> ich verstehe Deine Einlassung nicht.
>
Du sagst, der Gang der Diskussion zeige, dass die Zahlen aus [0,1], denen überall ein endliche Abfolge von Ziffern fehlt, als abzählbare Vereinigung von endlichen Mengen geschrieben werden könne.
Ich sage: Dann entnehme [0,1] doch mal die Zahlen mit der Abfolge "1" und versuche diese als abzählbare Vereinigung endlicher Mengen zu schreiben.
LG
gfm
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Hallo gfm,
ok, das verstehe ich.
Mit der formalen Notation bin ich nicht so fit, aber der Gedankengang ist doch auch hier der gleiche. Man nehme alle Zahlen mit n Nachkommastellen, die die Ziffer 1 nicht beinhalten. Das ist eine endliche Menge. Schließlich vereinige man diese Mengen für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Ich glaube, das Problem liegt eher darin, dass so nur Zahlen erfasst werden, die endlicher Länge sind, also in ihrer Dezimaldarstellung ab einer bestimmten (egal wie weit entfernten) Stelle nur noch Nullen haben. Sonst könnte man mit dem gleichen Argument zeigen, dass [0,1] insgesamt abzählbar ist, und das lässt sich ja bekanntlich widerlegen.
Insbesondere werden also irrationale Zahlen in der vorliegenden Diskussion nicht erfasst. Alles, was wir so wissen, ist dass aus der (abzählbaren) Menge der rationalen Zahlen in [0,1] eine abzählbare Menge von Zahlen die Ziffernfolge 666 nicht enthält.
Habe ich Dich jetzt richtig verstanden?
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:41 Di 21.12.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo gfm,
>
> ok, das verstehe ich.
> Mit der formalen Notation bin ich nicht so fit, aber der
> Gedankengang ist doch auch hier der gleiche. Man nehme alle
> Zahlen mit n Nachkommastellen, die die Ziffer 1 nicht
> beinhalten. Das ist eine endliche Menge. Schließlich
> vereinige man diese Mengen für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
>
> Ich glaube, das Problem liegt eher darin, dass so nur
> Zahlen erfasst werden, die endlicher Länge sind, also in
> ihrer Dezimaldarstellung ab einer bestimmten (egal wie weit
> entfernten) Stelle nur noch Nullen haben. Sonst könnte man
> mit dem gleichen Argument zeigen, dass [0,1] insgesamt
> abzählbar ist, und das lässt sich ja bekanntlich
> widerlegen.
>
> Insbesondere werden also irrationale Zahlen in der
> vorliegenden Diskussion nicht erfasst. Alles, was wir so
> wissen, ist dass aus der (abzählbaren) Menge der
> rationalen Zahlen in [0,1] eine abzählbare Menge von
> Zahlen die Ziffernfolge 666 nicht enthält.
>
> Habe ich Dich jetzt richtig verstanden?
>
ja
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:02 Mi 22.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
die Lage ist dann noch schlechter.
Damit betrachten wir also nur abbrechende Dezimalbrüche, also rationale Zahlen, deren Nenner (im vollständig gekürzten Zustand) nur die Primfaktoren 2 und 5 enthält.
Von diesen enthalten also abzählbar viele die Ziffernfolge 666 nicht.
Das ist noch nicht besonders informativ.
Dass z.B. weder [mm] \tfrac{1}{7} [/mm] noch [mm] \tfrac{1}{13} [/mm] die Ziffernfolge enthalten, ist damit noch gar nicht berücksichtigt, aber auch nicht, dass [mm] \tfrac{2}{3} [/mm] sie sehr wohl enthält, wie auch [mm] \tfrac{222}{3333}.
[/mm]
Ein amerikanischer Freund würde sagen: ok. Disappointed!
Grüße
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:15 Mi 22.12.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo nochmal,
>
> die Lage ist dann noch schlechter.
> Damit betrachten wir also nur abbrechende Dezimalbrüche,
> also rationale Zahlen, deren Nenner (im vollständig
> gekürzten Zustand) nur die Primfaktoren 2 und 5 enthält.
>
> Von diesen enthalten also abzählbar viele die Ziffernfolge
> 666 nicht.
> Das ist noch nicht besonders informativ.
>
> Dass z.B. weder [mm]\tfrac{1}{7}[/mm] noch [mm]\tfrac{1}{13}[/mm] die
> Ziffernfolge enthalten, ist damit noch gar nicht
> berücksichtigt, aber auch nicht, dass [mm]\tfrac{2}{3}[/mm] sie
> sehr wohl enthält, wie auch [mm]\tfrac{222}{3333}.[/mm]
>
> Ein amerikanischer Freund würde sagen: ok. Disappointed!
>
> Grüße
> rev
>
Guck mal hier: Lösungsvorschlag
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:37 Mo 20.12.2010 | | Autor: | iks |
> Moin,
>
> > > > [mm]S_n[/mm] die Menge
> > > > aller Zahlen aus, die bis zur n- ten Stelle der
> > > > Partialbruchentwicklung keine 3 Sechsen hintereinander
> > > > haben .
> > > > [...]
> > > > Dann ist [mm]S_n\subset\IQ[/mm]
> > >
> > > das stimmt ganz bestimmt nicht.
> > >
> >
> > Ich meinte das so in der Art
> >
> > [mm]$S_n:=\{x\in[0,1] | x=\sum_{k=1}^n a_k10^{-k}$ mit $a_{k-2},a_{k-1},a_{k}\neq6$ \forall$ $2< k\leq n, a_k\in\{0,...,9\}\}$[/mm]
>
Hallo Felix!
Die Anzahl der Nachkommastellen von [mm] $x\in S_n$ [/mm] ist doch endlich und somit [mm] $x\in\IQ$ [/mm] oder etwa nicht?
Der Grenzwert [mm] $\overline{S}=\cup S_n$ [/mm] natürlich dann nicht mehr. Aus der Stetigkeit von unten für das Maß m folgt dann
[mm] $m(\overline{S})=m(\lim_{n\to\infty}S_n)=\lim_{n\to\infty}m(S_n)=0$
[/mm]
Gruß nach Kanadien iks
> das hatte ich mir schon gedacht. Nur ist das eben keine
> Teilmenge von [mm]\IQ[/mm], sondern enthaelt auch sehr viele
> irrationale Zahlen.
>
> LG Felix
>
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:13 Mo 20.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Eine kurze Verständnisfrage: |
, indem
> man die Anzahl der Zahlenfolgen der Laenge [mm]n[/mm] ausrechnet,
> die keine drei Sechsen hintereinander haben, und durch [mm]10^n[/mm]
Kannst Du mir das vielleicht näher erklären?
Denn das ist mir völlig unverständlich.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 12:54 Mo 20.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Es tut mir leid, dass ich so viele Fragen parallel stelle, aber ich versuche nur, das von Anfang an zu verstehen. |
Bei Wikipedia lese ich:
"Gilt eine mathematische Aussage für ein Gebiet mit Ausnahme einer Lebesgue-Nullmenge innerhalb des Gebietes, so sagt man: Die Aussage gilt Lebesgue-fast-überall."
Das ist der Hintergrund, warum gezeigt werden muss, dass [mm] m([0,1]\backslash S)=0 [/mm], vermute ich.
Dann habe ich auf einer anderen Seite gefunden:
"Eine Menge [mm] M\subset \IR [/mm] heißt Nullmenge, falls zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 höchstens abzählbar viele (offene oder abgeschlossene) Intervalle [mm] I_n [/mm] existieren, die M überdecken und deren Längensumme [mm] \summe_{n=1}^{\infty}|I_n|<\epsilon [/mm] ist."
Die [mm] I_n [/mm] sind hier die [mm] S_n.
[/mm]
Und nun muss man also zeigen, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty}|I_n|<\epsilon. [/mm] Das bedeutet doch, dass die Reihe konvergiert. Und deswegen muss man zeigen, dass [mm] (S_n)_{n\in \IN} [/mm] gegen Null konvergiert.
Und das hat abakus über die Wahrscheinlichkeit gezeigt?
[Ich schreibe nur meine Gedankengänge auf und wie ich meine mathematischen Gedankengänge kenne, sind die wahrscheinlich nicht so richtig.]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:23 Mo 20.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Mit anderen Worten:
Ich weiß nicht, wie ich die Lösung dieser Aufgabe zusammenhängend und abgabewürdig aufschreiben kann.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 15:54 Mo 20.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Ich möchte diese Aufgabe sehr gerne abschließen und würde deswegen gerne wissen, ob man das wie folgt aufschreiben kann. Ich habe versucht, alle bisherigen Beiträge einzubeziehen, das ist mir aber nicht gut gelungen: |
Wenn ich es richtig verstanden habe, dann ist nichts Anderes zu zeigen als:
[mm] m([0,1]\backslash S)=0 [/mm], d.h. [mm] \overline{S}:=\{[0,1]\backslash S\} [/mm] ist Nullmenge, wobei S die Menge aller satanischen Zahlen im Intervall [0,1] bezeichne.
Außerdem gilt [mm] \overline{S}=\bigcup_{n=1}^{\infty}S_n [/mm] mit
[mm] S_n:=\{x\in [0,1]:x=\summe_{k=1}^{n}a_k*10^{-k},a_{k-2},a_{k-1},a_k\not=6 \forall 2
Und es gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}S_n=0.
[/mm]
Wegen der Stetigkeit von unten des Maßes m folgt:
[mm] m(\overline{S})=m(\limes_{n\rightarrow\infty}S_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}m(S_n)=0.
[/mm]
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Wer könnte mir ein Feedback geben und mich berichtigen?
Vielen Dank für die Geduld!
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 12:23 Di 21.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Hallo!
Die Aufgabe reduziert sich ja darauf zu zeigen, dass die Menge der nicht-satanischen Zahlen in [0,1] eine Lebesgue-Nullmenge ist.
Nun wurde ja vorgeschlagen, diese Menge als [mm] \overline{S} [/mm] zu bezeichnen, also
[mm] \overline{S}:=\{[0,1]\backslash S\}, [/mm] wobei S die satanischen Zahlen in [0,1] bezeichnet.
Und
[mm] $S_n:=\{x\in[0,1] | x=\sum_{k=1}^n a_k10^{-k}$ mit $a_{k-2},a_{k-1},a_{k}\neq6$ \forall$ $2< k\leq n, a_k\in\{0,...,9\}\}$ [/mm]
Zu zeigen ist jetzt:
Für jedes [mm] \epsilon [/mm] >0 gilt:
[mm] \overline{S}\subset \bigcup_{n=1}^{\infty}S_n [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty}m(S_n)<\epsilon.
[/mm]
Ich bekomme es aber einfach nicht hin dies zu zeigen.
Wer kann mir bitte helfen??
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Di 21.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Hallo! Ich sollte es vielleicht doch etwas konkreter Fragen:
Die Aufgabe reduziert sich ja darauf zu zeigen, dass die Menge der nicht-satanischen Zahlen in [0,1] eine Lebesgue-Nullmenge ist.
Nun wurde ja vorgeschlagen, diese Menge als [mm] \overline{S} [/mm] zu bezeichnen, also
[mm] \overline{S}:=\{[0,1]\backslash S\}, [/mm] wobei S die satanischen Zahlen in [0,1] bezeichnet.
Und
[mm] $S_n:=\{x\in[0,1] | x=\sum_{k=1}^n a_k10^{-k}$ mit $a_{k-2},a_{k-1},a_{k}\neq6$ \forall$ $2< k\leq n, a_k\in\{0,...,9\}\}$ [/mm]
Zu zeigen ist jetzt:
Für jedes [mm] \epsilon [/mm] >0 gilt:
[mm] \overline{S}\subset \bigcup_{n=1}^{\infty}S_n [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty}m(S_n)<\epsilon.
[/mm]
Ich bekomme es aber einfach nicht hin dies zu zeigen.
Wer kann mir bitte helfen?? |
[Wie kann man Fragen, die sich erübrigt haben oder die dumm gestellt waren löschen oder als unwichtig markieren?]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Di 21.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Ich hab nur obiges gelesen, aber die Menge [mm] S_n [/mm] ist doch endlich !
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Di 21.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Das bedeutet die Aufgabe ist damit schon gelöst?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Di 21.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Wie gesagt, ich habe nicht alles gelesen, aber so wie Du [mm] S_n [/mm] hingeschrieben hast , ist [mm] S_n [/mm] eine endliche Menge und damit ist [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}S_n [/mm] abzählbar und somit eine Nullmenge
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Di 21.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | D.h. die Voraussetzungen für eine Nullmenge sind also tatsächlich erfüllt? |
Diese lauten meines Wissens:
Eine Menge [mm] M\subseteq \IR^n [/mm] wird von einer Menge vom Maß 0 überdeckt, wenn für alle ε > 0 gilt: Es existiert eine offene Überdeckung von M aus höchstens abzählbar unendlich vielen Quadern und die Summe der Maße dieser Quader ist kleiner als ε.
Gilt denn Letzteres [mm] (\summe_{n=1}^{\infty}m(S_n) <\epsilon [/mm] auch? Wie "lang" ist denn so ein [mm] m(S_n)? [/mm] Wie errechnet man das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Di 21.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Endliche Mengen sind Nullmengen.
Ebenso abzählbare Mengen
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Di 21.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Danke!
Wenn Du mir jetzt noch diese Mitteilung erklären könntest bzw. warum das für mich überhaupt hier relevant sein soll, dann bin ich glücklich. |
Allerdings kann man [mm] $m(S_n)$ [/mm] recht explizit bestimmen, indem man die Anzahl der Zahlenfolgen der Laenge $n$ ausrechnet, die keine drei Sechsen hintereinander haben, und durch [mm] $10^n$ [/mm] teilt.
(Natuerlich reicht es aus, das ganze nach oben abzuschaetzen. Die Hauptsache ist, dass der entstehende Term fuer $n [mm] \to \infty$ [/mm] gegen 0 geht.)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Di 21.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke!
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> Wenn Du mir jetzt noch diese Mitteilung erklären könntest
> bzw. warum das für mich überhaupt hier relevant sein
> soll, dann bin ich glücklich.
Willst Du mich veralbern ?
Iat A eine endliche Teilmenge von [mm] \IR [/mm] , so ist A messbar und m(A)=0
Ebenso für abzählbare Mengen
FRED
> Allerdings kann man [mm]m(S_n)[/mm] recht explizit bestimmen, indem
> man die Anzahl der Zahlenfolgen der Laenge [mm]n[/mm] ausrechnet,
> die keine drei Sechsen hintereinander haben, und durch [mm]10^n[/mm]
> teilt.
>
> (Natuerlich reicht es aus, das ganze nach oben
> abzuschaetzen. Die Hauptsache ist, dass der entstehende
> Term fuer [mm]n \to \infty[/mm] gegen 0 geht.)
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 Di 21.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Entschuldigung, ich wollte Dich nicht veralbern!
Es tut mir leid, wenn meine Fragen so blöd sind, wenn sie diesen Eindruck erwecken!...
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Di 21.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Ein letzter Versuch (versprochen!): |
[mm] \overline{S}:=\{[0,1]\backslash S\}
[/mm]
S ist die Menge aller "satanischen Zahlen" im Intervall [0,1], d.h. alle [mm] x\in [/mm] [0,1], die irgendwo in ihrer Dezimalentwicklung drei benachbarte Sechsen stehen haben.
zz.: Fast alle Zahlen in [0,1] sind satanisch.
D.h. zz.: [mm] \overline{S} [/mm] ist Nullmenge.
Beweis:
Setze [mm] S_n:=\{x\in [0,1]:x=\summe_{k=1}^{\infty}a_k*10^{-k}, a_{k-2},a_{k-1},a_k\not= 6\forall 2
So ist [mm] \overline{S}=\bigcup_{n=1}^{\infty}S_n
[/mm]
und da die Mengen [mm] S_n [/mm] endliche Mengen sind, sind sie Nullmengen.
Wegen der Stetigkeit von unten des Maßes m gilt dann:
[mm] m(\overline{S})=m(\limes_{n\rightarrow\infty}S_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}m(S_n)=0.
[/mm]
Also ist [mm] \overline{S} [/mm] eine Nullmenge.
[mm] \BOX
[/mm]
Geht das so, kann man es so abgeben, ohne sich schämen zu müssen? (Blamiert habe ich mich ja hier schon genug...)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Di 21.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Jetzt bin ich allen dermaßen mit meiner Frage auf den Geist gegangen, dass niemand mehr antworten möchte. 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:58 Di 21.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Dennis,
> Jetzt bin ich allen dermaßen mit meiner Frage auf den
> Geist gegangen, dass niemand mehr antworten möchte.
Möglich, aber nicht sehr wahrscheinlich.
Ich z.B. habe vom Thema nicht viel Ahnung, also lasse ich die Finger davon.
Andererseits sind inzwischen so viele Fragen offen, dass ich auch Mühe hätte, einen Ort zu finden, wo ich mich einklinken könnte.
Gehe ich recht in der Annahme, dass Du nur noch auf Deine letzte Frage (heute, 17:05h) eine Antwort suchst?
Und wenn ja, kann ich die andern schließen? Vielleicht wird es dann ja wieder ermutigender für Leute, die die helfen können.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 Di 21.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ja, für die letzte Frage suche ich noch eine Antwort.
ich wäre sogar sehr dankbar, wenn die anderen Fragen geschlossen würden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Di 21.12.2010 | | Autor: | gfm |
> Ein letzter Versuch (versprochen!):
> [mm]\overline{S}:=\{[0,1]\backslash S\}[/mm]
> S ist die Menge aller
> "satanischen Zahlen" im Intervall [0,1], d.h. alle [mm]x\in[/mm]
> [0,1], die irgendwo in ihrer Dezimalentwicklung drei
> benachbarte Sechsen stehen haben.
>
> zz.: Fast alle Zahlen in [0,1] sind satanisch.
>
> D.h. zz.: [mm]\overline{S}[/mm] ist Nullmenge.
>
> Beweis:
>
> Setze [mm]S_n:=\{x\in [0,1]:x=\summe_{k=1}^{\infty}a_k*10^{-k}, a_{k-2},a_{k-1},a_k\not= 6\forall 2
Meinst Du jetzt
[mm]S_n:=\left\{x\in [0,1]:x=\summe_{k=1}^{\infty}a_k*10^{-k}, \forall j\in\{1,...,n-2\}: \neg (a_{j}=a_{j+1}=a_{j+2}= 6) \wedge a_j\in \{0,...,9\}\right\}[/mm]
oder
[mm]S_n:=\left\{x\in [0,1]:x=\summe_{k=1}^{n}a_k*10^{-k}, \forall j\in\{1,...,n-2\}: \neg (a_{j}=a_{j+1}=a_{j+2}= 6) \wedge a_j\in \{0,...,9\}\right\}[/mm]
Ersteres ist die Menge der Zahlen aus [0,1], die bis unter den ersten n Nachkommastellen keine "666" haben. Diese ist überabzählbar.
Letzteres ist die Menge der rationalen Zahlen aus [0,1] mit höchsten n von Null verschiedenen Nachkommastellen ohne "666" dabei. Diese ist endlich.
[mm] \overline{S} [/mm] selber ist gleich
[mm]\left\{x\in [0,1]:x=\summe_{k=1}^{\infty}a_k*10^{-k}, \forall j\in\IN: \neg (a_{j}=a_{j+1}=a_{j+2}= 6) \wedge a_j\in \{0,...,9\}\right\}[/mm]
und damit überabzählbar.
>
> So ist [mm]\overline{S}=\bigcup_{n=1}^{\infty}S_n[/mm]
>
> und da die Mengen [mm]S_n[/mm] endliche Mengen sind, sind sie
> Nullmengen.
Eine abzählbare Vereinigung von endlichen Mengen kann niemals nie eine überabzählbare Menge ergeben.
> Geht das so, kann man es so abgeben, ohne sich schämen zu
> müssen? (Blamiert habe ich mich ja hier schon genug...)
Glaub nicht.
Wenn ich mich an die Sachverhalt mit dem Cantorstaub erinnere, dann war der ja auch überabzählbar, wurde aber als Nullmenge erkannt, weil er als Differenz von [0,1] und abzählbar vielen disjunkten Mengen der Gesamtmasse 1 geschrieben werden konnte.
LG
gfm
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:24 Di 21.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Oh, da ist mir ein Fehler unterlaufen! |
> > Ein letzter Versuch (versprochen!):
> > [mm]\overline{S}:=\{[0,1]\backslash S\}[/mm]
> > S ist die Menge
> aller
> > "satanischen Zahlen" im Intervall [0,1], d.h. alle [mm]x\in[/mm]
> > [0,1], die irgendwo in ihrer Dezimalentwicklung drei
> > benachbarte Sechsen stehen haben.
> >
> > zz.: Fast alle Zahlen in [0,1] sind satanisch.
> >
> > D.h. zz.: [mm]\overline{S}[/mm] ist Nullmenge.
> >
> > Beweis:
> >
> > Setze [mm]S_n:=\{x\in [0,1]:x=\summe_{k=1}^{\infty}a_k*10^{-k}, a_{k-2},a_{k-1},a_k\not= 6\forall 2
>
>
> Meinst Du jetzt
>
> [mm]S_n:=\left\{x\in [0,1]:x=\summe_{k=1}^{\infty}a_k*10^{-k}, \forall j\in\{1,...,n-2\}: \neg (a_{j}=a_{j+1}=a_{j+2}= 6) \wedge a_j\in \{0,...,9\}\right\}[/mm]
>
> oder
>
> [mm]S_n:=\left\{x\in [0,1]:x=\summe_{k=1}^{n}a_k*10^{-k}, \forall j\in\{1,...,n-2\}: \neg (a_{j}=a_{j+1}=a_{j+2}= 6) \wedge a_j\in \{0,...,9\}\right\}[/mm]
>
> Ersteres ist die Menge der Zahlen aus [0,1], die bis unter
> den ersten n Nachkommastellen keine "666" haben. Diese ist
> überabzählbar.
>
> Letzteres ist die Menge der rationalen Zahlen aus [0,1] mit
> höchsten n von Null verschiedenen Nachkommastellen ohne
> "666" dabei. Diese ist endlich.
>
Da ist mir ein Fehler unterlaufen, ich habe diese Idee, die [mm] S_n [/mm] so zu schreiben, ja übernommen (s.o.) und dort war die letzte Variante gemeint. Also die endliche.
Wenn ich Dich richtig verstanden habe, funktioniert meine Idee ja aber sowieso nicht, egal, ob ich die eine oder die andere Variante benutze.
Schade, ich dachte ich finde vielleicht noch eine Lösung.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:39 Di 21.12.2010 | | Autor: | gfm |
> Oh, da ist mir ein Fehler unterlaufen!
>
> > > Ein letzter Versuch (versprochen!):
> > > [mm]\overline{S}:=\{[0,1]\backslash S\}[/mm]
> > > S ist die
> Menge
> > aller
> > > "satanischen Zahlen" im Intervall [0,1], d.h. alle [mm]x\in[/mm]
> > > [0,1], die irgendwo in ihrer Dezimalentwicklung drei
> > > benachbarte Sechsen stehen haben.
> > >
> > > zz.: Fast alle Zahlen in [0,1] sind satanisch.
> > >
> > > D.h. zz.: [mm]\overline{S}[/mm] ist Nullmenge.
> > >
> > > Beweis:
> > >
> > > Setze [mm]S_n:=\{x\in [0,1]:x=\summe_{k=1}^{\infty}a_k*10^{-k}, a_{k-2},a_{k-1},a_k\not= 6\forall 2
>
> >
> >
> > Meinst Du jetzt
> >
> > [mm]S_n:=\left\{x\in [0,1]:x=\summe_{k=1}^{\infty}a_k*10^{-k}, \forall j\in\{1,...,n-2\}: \neg (a_{j}=a_{j+1}=a_{j+2}= 6) \wedge a_j\in \{0,...,9\}\right\}[/mm]
>
> >
> > oder
> >
> > [mm]S_n:=\left\{x\in [0,1]:x=\summe_{k=1}^{n}a_k*10^{-k}, \forall j\in\{1,...,n-2\}: \neg (a_{j}=a_{j+1}=a_{j+2}= 6) \wedge a_j\in \{0,...,9\}\right\}[/mm]
>
> >
> > Ersteres ist die Menge der Zahlen aus [0,1], die bis unter
> > den ersten n Nachkommastellen keine "666" haben. Diese ist
> > überabzählbar.
> >
> > Letzteres ist die Menge der rationalen Zahlen aus [0,1] mit
> > höchsten n von Null verschiedenen Nachkommastellen ohne
> > "666" dabei. Diese ist endlich.
> >
> Da ist mir ein Fehler unterlaufen, ich habe diese Idee, die
> [mm]S_n[/mm] so zu schreiben, ja übernommen (s.o.) und dort war die
> letzte Variante gemeint. Also die endliche.
>
>
> Wenn ich Dich richtig verstanden habe, funktioniert meine
> Idee ja aber sowieso nicht, egal, ob ich die eine oder die
> andere Variante benutze.
>
> Schade, ich dachte ich finde vielleicht noch eine Lösung.
Versuchs mal mit:
[mm]A(z):=\{x\in [0,1]: 0.z666\le x<0.z667\}[/mm] wobei [mm]z[/mm] ist eine endliche Ziffernabfolge ist, deren letzte keine 6 ist und deren Stellen davor keine 666-Abfolge enthalten. [mm]z[/mm] kann auch leer sein. Bezeichne [mm]L(z)[/mm] die Länge von [mm]z[/mm] und sei
[mm]S_n=\cup \{A(z): L(z)=n\}[/mm]
Also
[mm]S_0=[0.666...,0.667)[/mm]
[mm]S_1=\cup [0,a_1666...,0.a_1667)[/mm] mit [mm]a_1\not=6[/mm]
[mm]S_2=\cup [0,a_1a_2666...,0.a_1a_2667)[/mm] mit [mm]a_2\not=6[/mm]
[mm]S_3=\cup [0,a_1a_2a_3666...,0.a_1a_2a_3667)[/mm] mit [mm]a_3\not=6[/mm]
[mm]S_4=\cup [0,a_1a_2a_3a_4666...,0.a_1a_2a_3a_4667)[/mm] mit [mm]a_4\not=6[/mm] und [mm]666\not\in a_1a_2a_3[/mm]
[mm]S_5=\cup [0,a_1a_2a_3a_4a_5666...,0.a_1a_2a_3a_4a_5667)[/mm] mit [mm]a_5\not=6[/mm] und [mm]666\not\in a_1a_2a_3a_4[/mm]
usw.
Wenn man nun zeigen kann dass [mm] \summe \lambda(S_n)=1 [/mm] gilt, wäre man fertig.
Es gilt [mm] \lambda(A(z))=10^{-L(z)-3} [/mm] und wenn N(n) die Anzahl der verschiedenen Realisierungen für ein z bezeichne, wäre [mm] \lambda(S_n)=N(n)*10^{-n-3} [/mm] und damit [mm] \summe \lambda(S_n)=\summe_{n=0}^{\infty}N(n)*10^{-n-3} [/mm] (wenn der Grenzwert existiert).
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Do 23.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:41 Mi 22.12.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich hab nur obiges gelesen, aber die Menge [mm]S_n[/mm] ist doch
> endlich !
Nein. Es geht um die Menge der Zahlen, deren Anfangsstücke von Länge n keine 666 enthalten. Das sind die [mm]S_n[/mm]
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:46 Mi 22.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo SEcki,
dieser Thread beginnt chaotisch zu werden.
> > Ich hab nur obiges gelesen, aber die Menge [mm]S_n[/mm] ist doch
> > endlich !
>
> Nein. Es geht um die Menge der Zahlen, deren Anfangsstücke
> von Länge n keine 666 enthalten. Das sind die [mm]S_n[/mm]
Fein. Dann ist jedes [mm] S_n [/mm] überabzählbar, und der ganze Beweisansatz hinfällig.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:55 Mi 22.12.2010 | | Autor: | SEcki |
> Fein. Dann ist jedes [mm]S_n[/mm] überabzählbar, und der ganze
> Beweisansatz hinfällig.
Nein. Es ist bloß nicht komplett trivial. Überabzählbar heisst ja nicht Maß unendlich.
Ich glaube, der Rest des Threads, ab dem von felixf hilft weiter. Gruppieren hilft (im Zweifel 3 mal gruppieen mit jeweils einem Shift).
SEcki
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 20:17 Mi 22.12.2010 | | Autor: | gfm |
> > Fein. Dann ist jedes [mm]S_n[/mm] überabzählbar, und der ganze
> > Beweisansatz hinfällig.
>
> Nein. Es ist bloß nicht komplett trivial. Überabzählbar
> heisst ja nicht Maß unendlich.
>
> Ich glaube, der Rest des Threads, ab dem von felixf hilft
> weiter. Gruppieren hilft (im Zweifel 3 mal gruppieen mit
> jeweils einem Shift).
>
Wenn [mm]S_n[/mm] ein Anfangsstück aus [mm][0,1][/mm] sein soll, welches keine [mm]666[/mm] in den ersten n Nachkommastellen enthält, dann wäre mit
[mm]T_n:=\cap_{j=1}^{n} S_j =S_n[/mm] (wegen [mm]S_{n+1}\subseteq S_n[/mm])
[mm]T_{\infty}=\cap_{j=1}^{\infty} S_j[/mm] die gesuchte Menge (Zahlen aus [mm][0,1][/mm] ohne [mm]666[/mm] in der Dezimalbruchentwicklung) und man müßte für den Nachweis der Nullmengen-Eigenschaft
[mm]\lambda(T_{\infty})=\lim \lambda(T_{n})=0[/mm] zeigen, oder?
Ist das soweit richtig?
[mm]S_n[/mm] kann als disjunkte Vereinigung von rechtshalboffenen Intervallen geschrieben werden:
[mm]S_n:=\cup \{[0.a_1...a_n, 0.a_1...a_n + 10^{-n}): (a_1,...,a_n)\in \{0,...,9\}^n \wedge (a_1,...,a_n) \mbox{ enthält keine } 666\}[/mm]
Sei [mm]N(n)[/mm] die Anzahl der n-Tupel aus [mm]\{0,...,9\}^n[/mm] ohne drei aufeinanderfolgende Sechsen.
Dann wäre [mm]\lambda(S_n) = N(n)*10^{-n}[/mm].
Jetzt ist doch "nur" zu zeigen, dass [mm]N(n)[/mm] nicht schnell genug wächst, oder?
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Fr 24.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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