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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 So 27.04.2008 | | Autor: | manolya |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Funktion f auf Extremal-und Sattelpunkte.
f(x)= [mm] \bruch{1}{4}*x^{4}-x^{3}+\bruch{3}{2}*x^{2}-x [/mm] |
Tagchen,
ich vertausche die Bedingungen für ein Sattelpunkt und aus dem Grund komme ich mit dieser Aufgabe klar?! :S
Könnte mir vielleicht Jemand helfen; die Bedingungen zu erklären und diese Aufgabe zu lösen?
Vielen Dank im Voraus
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 So 27.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo manolya!
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit horizontaler Tangente. Damit lauten die notwendigen Kriterien für einen Sattelpunkt:
$$f'(x) \ = \ 0 \ \ \ [mm] \text{und} [/mm] \ \ \ \ f''(x) \ = \ 0$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 So 27.04.2008 | | Autor: | manolya |
bei f'(x)=0 habe ich : x1=1 x2=2,414 x3= -0,414
bei f''(x)=0 habe ich : x1=1
oder musste ich die x-Werte der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzten ??? :S
[mm] f'(x)=x^{3}-3*x^{2}+3*x-1
[/mm]
[mm] f''(x)=3*x^{2}-6*x+3
[/mm]
Ich bin grad fraglos!!!
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Ich glaube nicht, dass du fraglos, sonder ratlos bist 
Du hast die Funktion
[mm]f(x) = \bruch{1}{4}*x^{4} - x^{3} +\bruch{3}{2}*x^{2}-x[/mm].
Nun musst du zunächst die beiden Ableitungen bilden, die hast du richtig berechnet:
[mm]f'(x) = x^{3} - 3*x^{2} +3*x-1[/mm].
[mm]f''(x) = 3*x^{2} - 6*x + 3[/mm].
Beide Funktionen haben als Nullstellen nur x = 1:
[mm]f'(x) = x^{3} - 3*x^{2} +3*x-1 = (x-1)^{3}[/mm].
[mm]f''(x) = 3*x^{2} - 6*x + 3 = 3*(x-1)^{2}[/mm].
Wenn du nun also deinen Kandidaten für den Sattelpunkt auserkoren hast (Hier geht logischerweise nur x = 1, denn nur bei diesem x-Wert ist sowohl die erste als auch die zweite Ableitung 0), musst du den schon bekannten x-Wert des Sattelpunkts in die ursprüngliche Funktion f(x) einsetzen, denn schließlich liegt er auf dieser Funktion und nicht auf deren Ableitungen.
Du berechnest also
f(1)
und erhältst dann den y-Wert deines Sattelpunkts.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 So 27.04.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
die Bedingungen für einen Sattelpunkt sind ja f'(x)=0 , f''(x)=0 und [mm] f'''(x)\not=0.
[/mm]
Da nun f'''(1)=0 ist, handelt es sich bei x=1 nicht um einen Sattelpunkt. Die nächste nichtverschwindende Ableitung von x=1 ist f''''(x), also eine gerade Ableitung, was bedeutet, dass es sich bei x=1 um einen Extremwert handelt.
Da [mm] f^{(4)}(1)=6 [/mm] positiv ist, handelt es sich um ein Minimum.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 So 27.04.2008 | | Autor: | manolya |
Nun bin ich ganz durcheinander
mit was kann ich nun Sattelpunkte rechnen ?
Martinius oder steppenhahn rechen bzw.denkweg?? :S :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:33 So 27.04.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo Manolya,
schau dir das Polynom mal auf einem Plotter an; vielleicht hast Du ja auch einen GTR. Dann siehst Du, dass sie keinen Sattelpunkt hat.
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG, Martinius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: WMF) [nicht öffentlich]
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