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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Di 02.03.2010 | | Autor: | Namenlos |
| Aufgabe | Untersuche folgende Funktion auf besondere Punkte (Extrema, Wendepunkt, Sattelpunkt, ...):
[mm] f(x)=1/4*x^4-x^3+1,5x^2-x [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wir sollen oben benannte Aufgabe als Übung für eine Arbeit durchrechnen.
Als erstes habe ich die Fkt. f(x) auf Extrema untersucht, indem ich die Nst. der 1. Ableitung berechnet habe. Das wäre x=1 als dreifache Nst.
Danach ist nun zu klären, ob ein Hoch-/Tief- oder Sattelpunkt vorliegt.
Also habe ich f´´(1) berechnet. Das ergibt auch 0. D. h. es ligt ein Sattelpunkt vor.
Zur Kontrolle habe ich dann noch auf Wendepunkte untersucht. Dazu habe ich die Nst. der 2. Ableitung berechnet (um die Extremstellen der ersten Abelitung zu finden) , da kommt also als doppelte Nst. x=1 raus.
Laut unserer Lehrerin ist dies ein Wendepunkt von f(x), wenn f´´´(x) nicht gleich null ist.
Nun das Problem:
Auch f´´´(1)=0.
Also kann dort kein Wendepunkt und somit auch ein Sattelpunkt vorliegen.
Aber auch ein Extremum ...
Was ist dieser Punkt dann?
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> Untersuche folgende Funktion auf besondere Punkte (Extrema,
> Wendepunkt, Sattelpunkt, ...):
> [mm]f(x)=1/4*x^4-x^3+1,5x^2-x[/mm]
> Als erstes habe ich die Fkt. f(x) auf Extrema untersucht,
> indem ich die Nst. der 1. Ableitung berechnet habe. Das
> wäre x=1 als dreifache Nst.
>
> Danach ist nun zu klären, ob ein Hoch-/Tief- oder
> Sattelpunkt vorliegt.
> Also habe ich f´´(1) berechnet. Das ergibt auch 0. D. h.
> es liegt ein Sattelpunkt vor. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Falsch!
Aus f'(1)=0 und f''(1)=0 kann man nicht schließen,
dass an der Stelle x=1 ein Terrassenpunkt vorliegen muss,
sondern nur, dass da einer liegen könnte.
(ich benütze den Begriff "Terrassenpunkt" statt
"Sattelpunkt", da ich mir unter einer Sattelfläche
eine zweidimensionale Fläche im dreidimensionalen
Raum vorstelle. Den Begriff "Terrassenpunkt" kann man
(zur Not) auch für eine Kurve im [mm] \IR^2 [/mm] verwenden)
> Zur Kontrolle habe ich dann noch auf Wendepunkte
> untersucht. Dazu habe ich die Nst. der 2. Ableitung
> berechnet (um die Extremstellen der ersten Abelitung zu
> finden) , da kommt also als doppelte Nst. x=1 raus.
> Laut unserer Lehrerin ist dies ein Wendepunkt von f(x),
> wenn f´´´(x) nicht gleich null ist.
>
> Nun das Problem:
> Auch f´´´(1)=0.
>
> Also kann dort kein Wendepunkt und somit auch ein
> Sattelpunkt vorliegen.
Auch dies ist als Folgerung falsch. Falls man nur weiß,
dass f'(1)=f''(1)=f'''(1)=0, so kann dort immer noch
ein Hochpunkt, ein Tiefpunkt, ein aufsteigender oder
ein absteigender Terrassenpunkt vorliegen, oder es könnte
sich bei der betrachteten Funktion z.B. um eine konstante
Funktion handeln.
> Aber auch ein Extremum ...
>
> Was ist dieser Punkt dann?
Es handelt sich um einen Tiefpunkt !
In derartigen Fällen hilft folgendes Rezept: Man leite
so oft ab, bis man auf eine nicht verschwindende
Ableitung stößt. Im vorliegenden Fall wäre dies die
vierte Ableitung: [mm] f^{(4)}(1)=6>0
[/mm]
Daraus, dass diese Ableitung von gerader Ordnung
(hier also 4) ist, kann man schließen, dass es sich
um einen Extrempunkt handelt (bei ungerader
Ordnung hätte man einen Terrassenpunkt). Der
positive Wert von [mm] f^{(4)}(1) [/mm] zeigt an, dass ein
Tiefpunkt vorliegt.
Am deutlichsten wird die Art dieser Kurve, wenn
man ihre Gleichung auf die folgende Form bringt:
$\ f(x)\ =\ [mm] \frac{1}{4}*\left((x-1)^4-1\right)$
[/mm]
Man kann den Graph von f erzeugen, indem man
die Kurve k: [mm] y=x^4 [/mm] in y-Richtung auf ein Viertel der
ursprünglichen Größe zusammenstaucht und die
erhaltene Kurve um 1 nach rechts und um [mm] \frac{1}{4}
[/mm]
nach unten verschiebt.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Di 02.03.2010 | | Autor: | Namenlos |
Erstmal danke für deine Hilfe!
Ich habe natürlich gemient, dass dort ein Sattelpunkt vorliegen könnte, sry, falsch ausgedrückt.
Noch mal eine Frage zu diesem Trick mit dem Abeleiten bis man auf eine nicht mehr verschwindende Fkt. trifft:
Wie kann man das denn begründen?
LG Namenlos
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Di 02.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Erstmal danke für deine Hilfe!
>
> Ich habe natürlich gemient, dass dort ein Sattelpunkt
> vorliegen könnte, sry, falsch ausgedrückt.
>
> Noch mal eine Frage zu diesem Trick
Das ist kein Trick
> mit dem Abeleiten bis
> man auf eine nicht mehr verschwindende Fkt.
Du meinst sicher Ableitung
> trifft:
>
> Wie kann man das denn begründen?
Mit dem Satz von Taylor
FRED
> LG Namenlos
>
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