Satz über impl. Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:35 Fr 09.07.2010 | | Autor: | kappen |
| Aufgabe | Sei [mm] f(x,y)=x^3+3xy+y^3+3. [/mm] Zeigen sie, dass die Gleichung f(x,y)=0 in einer Umgebung von (1,-1) eine Auflösung der Form [mm] y=\phi(x) [/mm] hat.
hat [mm] \phi [/mm] bei x=1 ein Extremum? Wenn ja, von welchem Typ? |
Hi =)
Ich habe (1,-1) eingesetzt und gesehen, dass f(1,-1)=0 ist. Ebenso ist Df(1,-1)!=0, daher existiert laut Satz eine lokale Auflösung. Aber wie soll ich dass denn zeigen?
Ich kann, die Ableitung der Auflösung bestimmen: [mm] \phi(x)'=-\bruch{\bruch{df}{dx}}{\bruch{df}{dy}}=-\bruch{x^2+y}{x+y^2}
[/mm]
Hier kann ich (1,-1) einsetzen und die Ableitung wird 0, also existiert ein Extremum. Wie bestimme ich, was für eines das ist? Dachte da in Richtung Hessematrix, aber die ist hier nur ein Vektor [mm] \vektor{-1\\-2}. [/mm] Kann ich trotzdem sagen, dass es sich um ein maximum handelt?
danke & schöne Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Fr 09.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f(x,y)=x^3+3xy+y^3+3.[/mm] Zeigen sie, dass die Gleichung
> f(x,y)=0 in einer Umgebung von (1,-1) eine Auflösung der
> Form [mm]y=\phi(x)[/mm] hat.
> hat [mm]\phi[/mm] bei x=1 ein Extremum? Wenn ja, von welchem Typ?
> Hi =)
>
> Ich habe (1,-1) eingesetzt und gesehen, dass f(1,-1)=0 ist.
> Ebenso ist Df(1,-1)!=0
Wie bitte, was soll das denn ? Zeige : [mm] f_y(1,-1) \ne [/mm] 0
> , daher existiert laut Satz eine
> lokale Auflösung. Aber wie soll ich dass denn zeigen?
>
> Ich kann, die Ableitung der Auflösung bestimmen:
> [mm]\phi(x)'=-\bruch{\bruch{df}{dx}}{\bruch{df}{dy}}=-\bruch{x^2+y}{x+y^2}[/mm]
>
> Hier kann ich (1,-1) einsetzen und die Ableitung wird 0,
> also existiert ein Extremum.
Vorsicht , das wissen wir noch nicht ! Wir wissen nur: [mm] \phi [/mm] hat in x=1 eine waagrechte Tangente.
> Wie bestimme ich, was für
> eines das ist? Dachte da in Richtung Hessematrix, aber die
> ist hier nur ein Vektor [mm]\vektor{-1\\-2}.[/mm] Kann ich trotzdem
> sagen, dass es sich um ein maximum handelt?
Quatsch, [mm] \phi [/mm] ist eine Funktion von 1 Var. Berechne [mm] \phi''(1)
[/mm]
FRED
>
> danke & schöne Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 So 11.07.2010 | | Autor: | kappen |
> > Sei [mm]f(x,y)=x^3+3xy+y^3+3.[/mm] Zeigen sie, dass die Gleichung
> > f(x,y)=0 in einer Umgebung von (1,-1) eine Auflösung der
> > Form [mm]y=\phi(x)[/mm] hat.
> > hat [mm]\phi[/mm] bei x=1 ein Extremum? Wenn ja, von welchem
> Typ?
> > Hi =)
> >
> > Ich habe (1,-1) eingesetzt und gesehen, dass f(1,-1)=0 ist.
> > Ebenso ist Df(1,-1)!=0
>
>
> Wie bitte, was soll das denn ? Zeige : [mm]f_y(1,-1) \ne[/mm] 0
hm hatte ich hier so stehen, war natürlich falsch. Nach welcher Variablen muss ich denn ableiten und sicherstellen, dass es ungleich 0 ist? Beide? Jedenfalls ist sowohl [mm] F_y(1,-1) [/mm] und [mm] F_x(1,-1) [/mm] ungleich 0. Dann gilt das weiter unten..
>
> > , daher existiert laut Satz eine
> > lokale Auflösung. Aber wie soll ich dass denn zeigen?
> >
> > Ich kann, die Ableitung der Auflösung bestimmen:
> >
> [mm]\phi(x)'=-\bruch{\bruch{df}{dx}}{\bruch{df}{dy}}=-\bruch{x^2+y}{x+y^2}[/mm]
> >
> > Hier kann ich (1,-1) einsetzen und die Ableitung wird 0,
> > also existiert ein Extremum.
>
> Vorsicht , das wissen wir noch nicht ! Wir wissen nur: [mm]\phi[/mm]
> hat in x=1 eine waagrechte Tangente.
ok..
>
>
>
> > Wie bestimme ich, was für
> > eines das ist? Dachte da in Richtung Hessematrix, aber die
> > ist hier nur ein Vektor [mm]\vektor{-1\\-2}.[/mm] Kann ich trotzdem
> > sagen, dass es sich um ein maximum handelt?
>
> Quatsch, [mm]\phi[/mm] ist eine Funktion von 1 Var. Berechne
> [mm]\phi''(1)[/mm]
okay, wenns nur von x abhängt, setze ich mein gegebenes y ein oder was mache ich?
Ist [mm] \Phi' [/mm] dann [mm] -\bruch{x^2+y}{x+y^2} [/mm] oder [mm] -\bruch{x^2-1}{x+1}=x-1 [/mm] ?
Wenn ichs dann nach x Ableite ist [mm] \Phi''(1)=1 [/mm] > 0, also Minimum??
>
> FRED
> >
Danke dir
> > danke & schöne Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 So 11.07.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Also, wenn du eine Implizite Funktion f(x,y)=0 gegeben hast und dazu eine Lösung [mm] (x_0, y_0), [/mm] dann ist die ist y als g(x) um [mm] (x_0, y_0) [/mm] darstellbar, falls [mm] f_y(x_0,y_0)\not=0 [/mm] ist.
Hier ist [mm] f_y(x,y)=x+y^2 [/mm] und damit [mm] f(1,-1)=2\not=0. [/mm] Daher lässt sich so eine Funktion g(x) finden mit f(x,g(x))=0 in einer Umgebung um (1,-1). Was [mm] f_x(1,-1) [/mm] dabei ist, ist hierbei unwichtig.
Dann weißt du: [mm] g'(x)=-\bruch{f_x(x,y)}{f_y(x,y)}=-\bruch{x^2+y}{y^2+x} [/mm] und [mm] g'(1)=-\bruch{1-1}{1+1}=0. [/mm] Könnte also potenziell ein Extremum vorliegen. Aber um sicherzugehen musst du g'(x) eben nochmals ableiten und 1 einsetzen. Mach das einfach mit der Quotientenregel und beachte, dass alle y Funktionen von x sind. Leitest du also y nach x ab, erhältst du y' und nicht z.B. 0. [mm] y^2 [/mm] abgeleitet ist 2yy' etc.
Alles klar?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 So 11.07.2010 | | Autor: | kappen |
Okay, habe ich gemacht. Was mache ich denn jetzt mit den y und y'? Wann darf ich überhaupt die Umgebung einsetzen? Zum Überprüfen auf eventuelle Extrema habe ich (1,-1) eingesetzt, jetzt in der 2. Ableitung nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 So 11.07.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Für x setzt du wieder 1 ein, für y=y(x)=-1 und y'=y'(1)=0, wie du vorher ausgerechnet hast.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:52 Mo 12.07.2010 | | Autor: | kappen |
okay dankeschön!
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