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Satz über implizit def. Funkt.: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Date: 02:42 Sa 03/02/2018
Author: X3nion

Hallo zusammen!

Ich verstehe ein paar Dinge beim Satz über implizit definierte Funktionen nicht, wie er im Forster geführt wird und würde mich freuen, wenn jemand die Zeit findet, mich aufzuklären! :-)
Insgesamt sind es 5 Fragen.

Farblegende:

Farbe Rot ist eine Stelle des Beweises, die ich nicht verstehe,
Farbe Blau meine Frage dazu,
und Schwarz ist der normale Beweistext, den ich verstanden habe, aber für den Kontext notiert.

[u]Satz [u]: Seien $ [mm] U_{1} \subset \IR^{k} [/mm] $ und $ [mm] U_{2} \subset \IR^{m} [/mm] $ offene Teilmengen und

F: $ [mm] U_{1} [/mm] $ x $ [mm] U_{2} \to \IR^{m}, [/mm] $ (x,y) $ [mm] \mapsto [/mm] $ F(x,y),

eine stetig differenzierbare Abbildung. Sei (a,b) $ [mm] \in U_{1} [/mm] $ x $ [mm] U_{2} [/mm] $ ein Punkt mit

F(a,b) = 0.

Die m x m Matrix

$ [mm] \frac{\partial F}{\partial y} [/mm] $ := $ [mm] \frac{\partial(F_{1}, ..., F_{m})}{\partial (y_{1}, ..., y_{m})} [/mm] $ := $ [mm] \pmat {\frac{\partial F_{1}}{\partial y_{1}} & ... & \frac{\partial F_{1}}{\partial y_{m}} \\ ... & ... & ... \\ \frac{\partial F_{m}}{\partial y_{1}} & ... & \frac{\partial F_{m}}{\partial y_{m}}} [/mm] $

sei im Punkt (a,b) invertierbar. Dann gibt es eine offene Umgebung $ [mm] V_{1} \subset U_{1} [/mm] $ von a, eine Umgebung $ [mm] V_{2} \subset U_{2} [/mm] $ von b sowie eine stetig differenzierbare Abbildung g: $ [mm] V_{1} \to V_{2} \subset \IR^{m} [/mm] $ mit g(a) = b, so dass

F(x, g(x)) = 0 $ [mm] \forall [/mm] $ x $ [mm] \in V_{1}. [/mm] $

Ist (x,y) $ [mm] \in V_{1} [/mm] $ x $ [mm] V_{2} [/mm] $ ein Punkt mit F(x,y) = 0, so folgt y = g(x).

Beweis

a)
O.B.d.A. sei (a,b) = (0,0).

Ist es hier so, dass für den Beweis eine allgemeine Funktion koordinatenweise so verschoben wird, dass man den Nullpunkt betrachtet?

Wir setzen

B := [mm] \frac{\partial F}{\partial y} [/mm] (0,0) [mm] \in [/mm] GL(m, [mm] \IR) [/mm]

Was bedeutet die Abkürzung GL(m, [mm] \IR)? [/mm]

und definieren die Abbildung G: [mm] U_{1} [/mm] x [mm] U_{2} \to \IR^{m} [/mm] durch

(1) G(x,y) := y - [mm] B^{-1}F(x,y). [/mm]

Da [mm] \frac{\partial G}{\partial y}(x,y) [/mm] = 𝟙 - [mm] B^{1} \frac{\partial F}{\partial y}(x,y), [/mm] wobei 𝟙 die m-reihige Einheitsmatrix bezeichnet, folgt

[mm] \frac{\partial G}{\partial y}(0,0) [/mm] = 0.

Da alle Komponenten der Matrix [mm] \frac{\partial G}{\partial y} [/mm] stetige Funktionen sind, gibt es Nullumgebungen [mm] W_{1} \subset U_{1} [/mm] und [mm] W_{2} \subset U_{2}, [/mm] so dass

(2) [mm] \parallel \frac{\partial G}{\partial y}(x,y) \parallel \le \frac{1}{2} [/mm] für alle (x,y) [mm] \in W_{1} [/mm] x [mm] W_{2}. [/mm]

Wir wählen ein r > 0, so dass

[mm] V_{2} [/mm] := [mm] \{y \in \IR^{m}: ||y|| \le r \} \subset W_{2}. [/mm]

Da G(0,0) = 0, gibt es eine offene Nullumgebung [mm] V_{1} \subset W_{1}, [/mm] so dass

(3)  [mm] \sup_{x \in V_{1}} [/mm] ||G(x,0)|| =: [mm] \epsilon \le \frac{r}{2}. [/mm]

Aus der Definition (1) folgt

F(x,y) = 0 <=> y = G(x,y)

folglich wurde die Lösung der Gleichung F(x,y) = 0 in ein Fixpunktproblem verwandelt.

Aus der Abschätzung (2) folgt für alle x [mm] \in V_{1} [/mm] und y, [mm] \eta \in V_{2} [/mm]

(4)
||G(x,y) - [mm] G(x,\eta)|| \le \frac{1}{2} [/mm] ||y - [mm] \eta|| [/mm]

Wieso folgt die Abschätzung (4) aus (2) ?

Setzt man [mm] \eta [/mm] = 0, so ergibt sich zusammen mit (3) für alle x [mm] \in V_{1}: [/mm]

(5) ||y|| [mm] \le [/mm] r => ||G(x,y)|| [mm] \le [/mm] r


b)

Für jeder feste x [mm] \in V_{1} [/mm] ist die Abbildung

y [mm] \mapsto [/mm] G(x,y) [mm] \in \IR^{m} [/mm] mit y [mm] \in V_{2} [/mm]

wegen (5) eine Abbildung der abgeschlossenen Kugel [mm] V_{2} \subset \IR^{m} [/mm] in sich, die nach (4) eine Kontraktion ist, also nach dem Banachschen Fixpunktsatz genau einen Fixpunkt hat.
=> [mm] \forall [/mm] x [mm] \in V_{1} [/mm] existiert genau ein y = g(x) [mm] \in V_{2}, [/mm] so dass G(x,y) = y, also F(x,g(x)) = 0.

c)

Es wird die Stetigkeit der in b) konstruierten Abbildung g: [mm] V_{1} \to V_{2} [/mm] gezeigt. Dazu wende man den Banachschen Fixpunktsatz auf den Banachraum [mm] C_{b}(V_{1}, \IR^{m}) [/mm] aller stetigen und beschränkten Abbildungen [mm] \phi: V_{1} \to \IR^{m} [/mm] an. Falls

[mm] ||\phi|| [/mm] := [mm] sup\{||\phi(x)||: x \in V_{1}\} \le [/mm] r,

so gilt für die durch

x [mm] \to \psi(x) [/mm] := G(x, [mm] \phi(x)) \in \IR^{m} [/mm] (x [mm] \in V_{1}) [/mm]

definierte stetige Abbildung [mm] \psi: V_{1} \to \IR^{m} [/mm] nach (5) ebenfalls [mm] ||\psi|| \le [/mm] r, die Zuordnung [mm] \phi \to \psi [/mm] liefert also eine Abbildung [mm] \theta [/mm] der abgeschlossenen Teilmenge

A:= [mm] \{\phi \in C_{b}(V_{1}, \IR^{m}): ||\phi|| \le r \} [/mm] = [mm] \{\phi \in C_{b}(V_{1}, \IR^{m}): \phi(V_{1}) \subset V_{2} \} [/mm] in sich

Aus (4) folgt für [mm] \phi_{1}, \phi_{2} \in [/mm] A

[mm] ||\theta(\phi_{1}) [/mm] - [mm] \theta(\phi_{2})|| [/mm] = [mm] sup_{x \in V_{1}} [/mm] ||G(x, [mm] \phi_{1}(x)) [/mm] - G(x, [mm] \phi_{2}(x))|| \le \frac{1}{2} sup_{x \in V_{1}} [/mm] || [mm] \phi_{1}(x) [/mm] - [mm] \phi_{2}(x)|| [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \parallel \phi_{1} [/mm] - [mm] \phi_{2} \parallel [/mm]


Wieso ist [mm] ||\theta(\phi_{1}) [/mm] - [mm] \theta(\phi_{2})|| [/mm] = [mm] sup_{x \in V_{1}} [/mm] ||G(x, [mm] \phi_{1}(x)) [/mm] - G(x, [mm] \phi_{2}(x))|| [/mm] ?

Insgesamt ist [mm] \theta: [/mm] A [mm] \to [/mm] A also eine Kontraktion und besitzt deshalb genau einen Fixpunkt g [mm] \in [/mm] A [mm] \subset C_{b}(V_{1}, \IR^{m}). [/mm] Diese Stetige Abbildung g: [mm] V_{1} \to V_{2} [/mm] erfüllt G(x,g(x)) = g(x), also F(x,g(x)) = 0 für alle x [mm] \in V_{1}. [/mm]


d) Nach evtl. Verkleinerung von [mm] V_{1} [/mm] kann angenommen werden, dass die Matrix [mm] \frac{\partial F}{\partial y} [/mm] in jedem Punkt (x,g(x)), x [mm] \in V_{1}, [/mm] invertierbar ist. Es wird nun die Differenzierbarkeit von g: [mm] V_{1} \to \IR^{m} [/mm] gezeigt.

Es genügt, den Beweis von g im Nullpunkt 0 [mm] \in V_{1} \subset \IR^{k} [/mm] zu führen (für die anderen Punkte geht der Beweis analog).

Man setze A:= [mm] \frac{\partial F}{\partial x}(0,0) \in [/mm] M(m x k, [mm] \IR), [/mm]

B:= [mm] \frac{\partial F}{\partial y}(0,0) \in GL(m,\IR). [/mm]

Aus der Definition der Differenzierbarkeit von F im Punkt (0,0) folgt

F(x,y) = Ax + By + [mm] \phi(x,y) [/mm] mit [mm] \phi(x,y) [/mm] = [mm] o(\parallel [/mm] x,y [mm] \parallel) [/mm]


Das hier verstehe ich nicht. Die Definition der Diff.barkeit lautet ja, dass in einer Umgebung von x gilt:

f(x + [mm] \xi) [/mm] = f(x) + [mm] A\xi [/mm] + [mm] \phi(\xi) [/mm] mit [mm] \phi(\xi) [/mm] = [mm] o(||\xi||). [/mm]



..... Den Rest vom Beweis verstehe ich!



Wie immer bin ich euch sehr dankbar wenn ihr mir helfen könnt!


Viele Grüße,
X3nion

        
Bezug
Satz über implizit def. Funkt.: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 15:20 Di 06/02/2018
Author: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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